2022年湖南省怀化市溆浦县第六中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年湖南省怀化市溆浦县第六中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下图所示结构图中“古典概型”的上位是（

）

A.实验

B.随机事件

C.概率统计定义

D.概率的应用参考答案：B略2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=18﹣a7，S8=（）A．18 B．36 C．54 D．72参考答案：D考点：等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列{an}的性质可得：a1+a8=a2+a7．再利用前n项和公式即可得出．解答：解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a8=a2+a7．∴S8==4×18=72．故选：D．点评：本题考查了等差数列的性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是(

)A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1参考答案：C【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程．【解答】解：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4∴2a=4，2c=2，∴b=3∴椭圆的方程为．【点评】本题利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程，关键是求出其基本量．4.设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果．【解答】解：X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P（X=3）==，故选：C．5.下列类比推理中，得到的结论正确的是(

)（A）把与a（b+c）类比，则有（B）向量的数量积运算与实数的运算性质类比，则有ks5u(C)把与类比，则有(D)把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和

参考答案：D略6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则A＝

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A7.观察下列各式：，则（

）（A）28

（B）76

（C）123

（D）199参考答案：C8.设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】63：导数的运算．【分析】先求出导函数，再代值算出a．【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故选D．9.已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是（

）A．为真

B．为真

C．为真

D．为假参考答案：C10.已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上为减函数，则a的取值范围为

参考答案：

12.圆上的动点到直线距离的最小值是_______________.参考答案：2略13.甲、乙、丙三位同学被问到是否看过A，B，C三本书时，甲说：我看过的比乙多，但没看过C书；乙说：我没看过B书；丙说：我们三人看过同一本书.由此可判断乙看过的书为__________．参考答案：A【分析】结合丙的话和甲的话，可确定乙看过一本书，甲看过两本书A，B；结合丙的话和乙的话，可确定乙看过的书.【详解】由丙的话可知，每个人至少看过一本书由甲的话可知甲看过两本书，为A，B；乙看过一本书三个人看过同一本书，且乙没看过

乙看过本题正确结果：【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.14.设函数，则f（f（﹣1））=．参考答案：0【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数得f（﹣1）=，则f（）=2×﹣1=1﹣1=0，故．故答案为：015.把不超过实数x的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在[2,5]上任取x，则的概率为______．参考答案：【分析】将表示为分段函数的形式，解方程组求得的取值范围，利用几何概型概率计算公式，求得所求概率.【详解】依题意可知当时，，当，当，当.综上所述，当时，符合，故概率为.【点睛】本小题主要考查取整函数的概念及运用，考查古典概型的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16.（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=

．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC?CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，则山高MN=________m．参考答案：750.【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求，再利用直角三角形求出的值。【详解】在中，，所以，在中，，从而，由正弦定理得：，所以，中，，由，得。【点睛】本题以测量山高的实际问题为背景，考查正弦定理在解决实际问题中的应用，求解时要注意结合立体几何图形找到角之间的关系。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若．（i）求的最值；（ii）求四边形ABCD的面积．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）与已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，由可得k与m的关系．（i）由数量积的坐标运算把化为含有k的代数式求得最值；（ii）首先求出△AOB的面积，乘以4即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由题意，，又a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=4，∴椭圆的标准方程为；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①，∵，∴，∴，=，∴，得4k2+2=m2．（i）=．∴﹣2=2﹣4．当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，的最小值为﹣2．又直线AB的斜率不存在时，，∴的最大值为2；（ii）设原点到直线AB的距离为d，则==．∴．19.（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．参考答案：（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到VA﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD．解答：（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．点评：熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．20.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨、原料不超过18吨．那么该企业分别生产多少吨的甲、乙两种产品，可获得最大利润，且最大利润是多少？参考答案：21.函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.参考答案：【分析】先求出切线方程，设，则，再对分类讨论，利用导数分析解答得解.【详解】解：，在处切线的斜率为，所以切线方程为，即.设，则.依题意，当时，恒成立.①当时，在区间上，，是增函数，所以；②当时，在区间上，，是减函数，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）因为，所以.又因为侧面底面，且