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文档简介
湖南省衡阳市衡南县廖田中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知圆的圆心到直线的值为(
)
A.—2或2
B.
C.0或2
D.—2或0参考答案:C2.函数y=x2+ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】3O:函数的图象.【分析】先求出函数为偶函数,再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断.【解答】解:∵f(﹣x)=x2+ln|x|=f(x),∴y=f(x)为偶函数,∴y=f(x)的图象关于y轴对称,故排除B,C,当x→0时,y→﹣∞,故排除D,或者根据,当x>0时,y=x2+lnx为增函数,故排除D,故选:A【点评】本题考查了函数图象的识别,关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势,属于基础题.3.若两条异面直线所成的角为,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有A.12对
B.18对
C.24
对
D.30对参考答案:C4.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(
)A. B.
C. D.参考答案:D5.是
(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:A6.设向量
A.
B.
C.
D.10参考答案:B因为所以,解得,又所以,所以,所以,所以,选B.9.已知等比数列的公比为,记,,,则以下结论一定正确的是()A.数列为等差数列,公差为
B.数列为等比数列,公比为
C.数列为等比数列,公比为
D.数列为等比数列,公比为
参考答案:C8.已知函数的定义域为,若其值域也为,则称区间为的保值区间.若的保值区间是,则的值为(
)A.1
B.
C.
D.
参考答案:A略9.已知向量a、b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·(2a+b)的值为()A.48 B.32
C.1 D.0参考答案:D略10.的内角的对边分别为,若,,则等于(
)A.
B.2
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,2],则该函数的解析式f(x)=________.参考答案:略12.已知一圆锥的母线长为4,若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是,则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于_________.
参考答案:略13.若是奇函数,则=
;参考答案:14.(5分)方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆,则m的取值范围是
.参考答案:(﹣∞,)考点:二元二次方程表示圆的条件.专题:直线与圆.分析:根据圆的一般方程即可得到结论.解答:解:若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆,则满足1+1﹣4m>0,即m<,故答案为:(﹣∞,).点评:本题主要考查圆的一般方程的应用,比较基础.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是D2+E2﹣4F>0.15.展开式中的系数为
.-参考答案:略16.O是平面上一点,点是平面上不共线的三点。平面内的动点P满足,若,则·的值等于
.参考答案:0略17.已知双曲线的渐近线过点,则该双曲线的离心率为
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的,如图是抽样调查后得到的工资薪金所得X的频率分布直方图。工资薪金个人所得税税率表如表所示。表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分(3500元为个税起征点,不到3500元不缴税)。工资个税的计算公式为:“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”。例如:某人某月“工资薪金所得”为5500元,则“全月应纳税所得额”为5500-3500=2000元,应纳税额为200010%-105=95(元),在直方图的工资薪金所得分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,工资薪金所得落入该区间的频率作为x取该区间中点值的概率(I)试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款;(II)设该市居民每月从工资薪金所得交完税后,剩余的为其月可支配额y(元),试求该市居民月可支配额不超过7000元的概率。参考答案:(Ⅰ)工资薪金所得的组区间的中点值依次为,取这些值的概率依次为,算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为(元),按工资个税的计算公式,相应的工资个税分别为:(元),(元),(元),(元),(元);∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为(元);
(Ⅱ)这5组居民月可支配额取的值分别是(元);(元);(元);(元);(元);可看出的有,19.(本小题满分12分)已知函数.(I)当时,求函数的定义域;(II)若关于的不等式的解集是,求的取值范围.参考答案:(I)由题设知:,
…………1分不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
,或,或,…………4分解得函数的定义域为;
…………6分(II)不等式即,
…………8分∵时,恒有,
…………10分∵不等式解集是,∴,求得的取值范围是.………12分20.如题(19)图,在四面体中,平面平面,,,.
(Ⅰ)若,,求四面体的体积;
(Ⅱ)若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.
参考答案:(I)解:如答(19)图1,设F为AC的中点,由于AD=CD,所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=.在Rt△ABC中,因AC=2AF=,AB=2BC,由勾股定理易知故四面体ABCD的体积
(II)解法一:如答(19)图1,设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG//AD,GH//BC,从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点,则EF//BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB.又由(I)有DF⊥平面ABC,
故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角,由题设知∠DEF=60°设在从而因Rt△ADE≌Rt△BDE,故BD=AD=a,从而,在Rt△BDF中,,又从而在△FGH中,因FG=FH,由余弦定理得因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二:如答(19)图2,过F作FM⊥AC,交AB于M,已知AD=CD,平面ABC⊥平面ACD,易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM,FC,FD分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系F—xyz.不妨设AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,易知点A,C,D的坐标分别为显然向量是平面ABC的法向量.已知二面角C—AB—D为60°,故可取平面ABD的单位法向量,使得设点B的坐标为,有易知与坐标系的建立方式不合,舍去.因此点B的坐标为所以从而故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为21.已知函数,.(1)求的单调区间;(2)若在(0,+∞)上成立,求a的取值范围.参考答案:(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2).【分析】(1),利用,解得,即可得出单调区间.(2)法一:由得,即.令,利用导数研究其单调性即可得出.法二:由得,即,令,利用导数研究其单调性即可得出.【详解】解:(1),当时,,单调递增;当时,,单调递减,故单调递增区间为,单调递减区间为.(2)法一:由得,即,令,,,,在单调递增,又,,所以有唯一的零点,且当时,,即,单调递减,当时,,即,单调递增,所以,又因为所以,所以,的取值范围是.法二:由得,即,令,因为,,所以存在零点;令,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增.所以,所以,所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.(1)求证:△∽△;(2)求证:四边形是平行四边形.参考答案:(1)见解析;(2)见解析【知识点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定.N1解析:(1)∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,∴,∴,又∵,∴△∽△,∴,即.∵,∴,∴,∴△∽△.
………5分(2)∵,∴,即,∴,
∵△∽△,∴,∵是圆的切线,∴,∴,即,∴,∴四边形PMCD是平行四边形.
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