重积分的应用课件

柱面坐标系球面坐标系重积分计算的基本方法——累次积分法1柱面坐标系球面坐标系重积分计算的基本方法——累次积分法1第六节一、平面图形的面积及立体体积

二、曲面的面积

三、物体的重心

四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用2第六节一、平面图形的面积及立体体积二、曲面的面积三、物体解：所求立体的体积为3解：所求立体的体积为3解：另解：1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性.分布在有界闭域上的整体量.2.用重积分解决问题的方法-----元素法问题：满足什么条件的量可用重积分解决？4解：另解：1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.元素法也可推广到三重积分上5元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.元素法设曲面S的方程为曲面S在xoy面上的投影为区域D，如图，设小区域点(x,y)为S上过点M(x,y,z)的切平面，以的边界为准线，母线平行于z轴的小柱面，截曲面S为截切平面为则有则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.6设曲面S的方程为曲面S在xoy面上的投影为区------曲面S的面积元素因为为在xoy面上的投影，则有7------曲面S的面积元素因为为在xoy面上的投影，则有7ab8ab8３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得曲面面积公式为：即１．设曲面的方程为：

9３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面xzy解：xoy例1.求球面，含在圆柱体内部的那部分面积.曲面方程：由对称性知：,10xzy解：xoy例1.求球面，含在圆柱体内部的那部分面积xoy面积为：11xoy面积为：11二、重心设密度函数为的空间物体

V，在

V上连续.为求得

V的重心坐标,先对

V作分割

T,

是小块的质量可用近似代替,若

把每一块看作质量集中在的质点时,整个物体就可用这

n个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为在属于

T的每一小块上任取一点于12二、重心设密度函数为的空间物体V，在V上连1313的重心坐标:当物体

V的密度均匀分布时,即为常数时，则有当自然地可把它们的极限定义作为

V14的重心坐标:当物体V的密度均匀分布时,同样可以得到,密度函数为的平面薄板

D的

重心坐标:当为常数时，则有15同样可以得到,密度函数为的平面薄板D的重心坐标:例2求密度均匀的上半椭球体的重心.解设椭球体由表示.借助对又由为常数,所以称性知道故得即求得上半椭球体的重心坐标为16例2求密度均匀的上半椭球体的重心.解因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,

故连续体的转动惯量可用积分计算.17因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转得：18得：18例3.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解:

建立坐标系如图,半圆薄片的质量19例3.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解:202021212222G

为引力常数推广到空间立体

：设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,其密度函数23G为引力常数推广到空间立体：设物体占有空间区域,物曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定二代一定(与方向有关)24曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计三与路径无关的四个等价命题条件等价命题(1)在G内与路径无关，(4)在G内存在u(x,y),使(3)在G内，(2)使闭曲线在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立.25与路径无关的四个等价命题条件等(1)在G内与路径无关，(4)1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式261.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与第二类曲线积分27第二类曲线积分27计算中涉及的有关公式1.两类曲线积分的几何意义闭区域D的面积28计算中涉及的有关公式1.两类曲线积分的几何意义闭区域D的面积4.曲线积分，其中是沿逆时针方向一周.3.设L为从点(1,1)到点(0,