锐角三角函数教材分析课件

延庆县第四中学王献春锐角三角函数延庆县第四中学1一、本章知识的地位与作用三、教学建议二、课标、考试说明、教材的要求一、本章知识的地位与作用三、教学建议二、课标、考试说明、教材2一、本章知识的地位与作用•

本章是对代数中已初步涉及的函数概念的充实与视野开拓.•

本章属于三角学，为高中解斜三角形，任意角三角函数，反三角函数及三角方程打下基础.•

本章体现数形结合，学生对直角三角形的知识体系有较为完整的认识，本章提供一种以计算手段处理几何问题的途径.•

本章可被广泛应用于测量、工程技术和物理中，主要用来计算距离、高度和角度，具有综合技术教育的价值.•从课程本身来看

一、本章知识的地位与作用• 本章是对代数中已初步涉及的函数概3从中考角度看从历年中考题来看，锐角三角函数的概念，特殊角三角函数值的计算是中考的必考内容；解直角三角形的知识更是近年中考命题的热点之一，考查内容以基础知识和基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度和角度的应用问题，更要求学生能够根据题中给出的信息建构图形，建立数学模型，然后运用解直角三角形的知识解决问题。13从中考角度看从历年中考题来看，锐角三角函数的概念，特殊角三角4题形分值知识点14年解答题14题5分特殊角的计算---30°解答题19题5分与平行四边形综合—正切解答题21题5分与四边形结合---30°综合题22题5分与四边形结合---30°近四年北京市中考锐角三角函数考点分析11年解答题13题5分特殊角的计算---30°解答题20题5分与圆、相似综合，三角函数的概念—正弦1612年解答题13题5分特殊角的计算---sin45°解答题

19题5分与四边形结合---30°、45°构造直角三角形

解答题20题5分与圆、相似综合，三角函数的概念—正弦13年解答题14题5分特殊角的计算---cos45°解答题

20题5分圆中的计算与证明解答题25题8分代几综合，特殊的三角函数值近几年考试共性：（1）以特殊角30°，45°，60°的三角函数值为载体考查实数运算（2）利用三角函数作为工具求圆、梯形中相关的长度（3）以旋转为载体，与全等、函数、相似等多个知识点综合解决问题题形分值知识点14解答题14题5分特殊角的计算---30°解5锐角三角函数解直角三角形相似勾股定理解斜三角形、三角函数从教学内容看12锐角三角函数解直角三角形6认识三个教学要点锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值根据三角函数值求角度解直角三角形的含义实际问题与解直角三角形落实五个教学内容基本点：对锐角三角函数的认识与应用支撑点：相似和勾股定理能力提升点：组合图形的转化求解根据具体问题构造RT△18认识三个教学要点锐角三角函数的概念落实五个教学内容基本点：对71、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA、cosA、tanA），知道30°、45°、60°角的三角函数值。2、会使用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角。3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。14课标要求：二、课标、考试说明、教材对本章的要求

1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA8能综合运用直角三角形的性质解决有关问题会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题知道解直角三角形的含义解直角三角形能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题由某个锐角的一个三角函数值,会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含30°,45°,60°角的三角函数式的值了解锐角三角函数sinA，cosA，tanA;知道30°45°60°角的三角函数值锐角三角函数CBA考试要求考试内容2014年中考考试说明要求15能综合运用直角三角形的性质解决有关问题会解直角三角形；解直9锐角三角函数解直角三角形教材要求（可看教材）

应用举例锐角三角函数解直角三角形教材要求（可看教材）应用举例10教材要求：锐角三角函数使学生认识并理解锐角三角函数的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边之比.使学生理解并熟记30°、45°、60°角的三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值.会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它对应的角度.使学生掌握用计算器由已知锐角求它的三角函数值，反之，由已知某角的三角函数值求它对应的锐角.教材要求：锐角三角函数使学生认识并理解锐角三角函数的概念，能11教材要求：解直角三角形使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.使学生会将等腰三角形、四边形形及一般三角形（含特殊角）中的边角计算问题通过作垂线转化为解直角三角形的问题去解决.教材要求：解直角三角形使学生掌握直角三角形的边角关系，会运使12教材要求：应用举例使学生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离等在测量中常用的术语，并弄清它们的意义.使学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.进而用解直角三角形的知识解决.教材要求：应用举例使学生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距13课时安排-----约11课时28.1锐角三角函数4课时

正弦1课时余弦正切1课时特殊角的三角函数值1课时计算器1课时28.2解直角三角形5课时

直角三角形的解法1课时三角形中的边角计算1课时仰角\俯角1课时方位角1课时坡角\坡度1课时小结与复习2课时20三、教学建议课时安排-----约11课时28.1锐角三角函数14具体做法：锐角三角函数锐角的正弦是本章的起点，同时又是重点.锐角的正弦概念的建立应让学生经历一个从特殊到一般的认识过程.具体做法：锐角三角函数锐角的正弦是本章的起点，同时又是重点15具体做法：1-2课时第一说明：直角三角形中，对于锐角∠A的任一个值，其对边与斜边的比是一个固定不变值.锐角的正弦是本章的起点，同时又是重点.锐角的正弦概念的建立应让学生经历一个从特殊到一般的认识过程.具体做法：1-2课时第一说明：直角三角形中，对于锐角∠A的任161-2课时第二说明：锐角的对边与斜边的比值是随锐角的大小变化而变化的.1-2课时第二说明：锐角的对边与斜边的比值是随锐角171-2课时以上两点反映了角与边之间的一种关系，这种关系非以前所学过的数学符号所能表达，因此我们要引进新的符号和名称（给出锐角的正弦及表示法）.直角三角形中，除∠A的对边与斜边之比外，还有哪两条线段的比是固定不变的?直角三角形中，三条边组成六个比，其比值都是固定不变的，因有倒数关系，顾只研究其中的三个就够了.1-2课时以上两点反映了角与边之间的一种关系，这种直角三角形181-2课时通过教学使学生逐步形成“锐角三角函数值是直角三角形中的两条边的比值”的认识：由直角三角形中两条边的比，可以求得这个锐角的三角函数值；反之，已知一个锐角的三角函数值，就可以得到这个角所在直角三角形中两条边的比.1-2课时通过教学使学生逐步形成“锐角三角函数值是直角三角形191-2课时逐步帮助学生总结求一个锐角的三角函数值的几种常用思路：（2)设参数后用定义求锐角三角函数值（1)直接用定义求锐角三角函数值（3)转化为等角后用定义求锐角三角函数值（4）构造直角三角形后用定义求锐角三角函数值

1-2课时逐步帮助学生总结求一个锐角的三角函数值的几（220题型示例：A:了解锐角三角函数概念ABC例1：如图位于的方格纸中，则＝

.找好格点紧扣定义题型示例：A:了解锐角三角函数概念ABC例1：如图位于的方格212011年考试说明题型示例：B:由一个三角函数值求这个角其余两个三角函数值例2：课本P97的第1题：在RT△ABC中∠C=90°，a=2，sinA=，求cosA和tanA;改编：在RT△ABC中∠C=90°，sinA=，求cosA和tanA;BCAk3k有数画图参数设元2011年考试说明题型示例：B:由一个三角函数值求这个角其余22例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，求sin∠ACD，tan∠BCDABCD一题多解的方法中体会三角函数的简洁，体会等角的三角函数值相等例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于231-2课时例1：直角三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，且AD:DC=1:2.求（1）∠ADB的三个三角函数值；

（2）∠DBC的三个角函数值.E1-2课时例1：直角三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，241-2课时例2：已知正方形ABCD中，M是DC上一点，且,AN⊥BM于N.求cos∠NAD.思路1：∠NAD=∠ABN，△ABN∽△BCM思路2：∠NAD=∠ABN=∠BMCcos∠NAD=3/51-2课时例2：已知正方形ABCD中，M是DC上一点，且思路2521.1锐角三角函数例3：已知：如图，四边形MNBE和ABCD都是正方形,αβ21.1锐角三角函数例3：已知：如图，四边形MNBE和A26特殊角的三角函数（第3课时）用手中三角板推导特殊角的三角函数值.记忆特殊角的三角函数值.计算含特殊角的三角函数式的值.由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角.特殊角的三角函数（第3课时）用手中三角板推导特殊角的三角函27指导学生记忆特殊角三角函数值的方法(1)数形结合法；(2)表格法三角函数30°45°60°sinαcosαtanα表格功能可挖掘指导学生记忆特殊角三角函数值的方法(2)表格法三角函数30°282014年考试说明：B:会计算含30°,45°,60°角的三角函数式的值（2014北京）14.计算：应知必会人人落实43.[来源:学#科#

（2013北京）13.计算：2014年考试说明：B:会计算含30°,45°,60°角的三29用计算器求锐角三角函数值（第4课时）

用计算器探索三角函数的性质：锐角三角函数的增减性，同角三角函数的平方关系，互余两角三角函数的关系.如：

探索锐角正弦的增减性（1）用计算器；（2）用几何画板；（3）用几何证明：αβ用计算器求锐角三角函数值（第4课时）用计算器探索三角函数30解直5-6课时解直角三角形是重要的基础性的知识，它是解决许多问题的工具:直角三角形中的边角计算；一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；解直5-6课时解直角三角形是重要的基础性的知识，它是解决许多31初中教学内容初中教学内容32解直5-6课时图形的分解数量的求解锐角关系：∠A+∠B=90°（互余）边长关系：（勾股定理）边角关系：（三角函数）面积关系：回顾广义49解直5-6课时图形的分解锐角关系：∠A+∠B=90°（互余）331、解直角三角形---单纯数学问题由已知求未知一个直角三角形的求解问题有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中1、解直角三角形---单纯数学问题由已知求未知一个直角三角形34掌握把斜三角形转化为直角三角形的基本方法．即解决好两个直角三角形的组合、拼接等问题．抓住两个知识结合点，即图形转化的结合点（公共量的确定）；数形结合的结合点（数值之比）．53掌握把斜三角形转化为直角三角形的基本方法．即解决好两个直角三35ABCABCABCABC斜三角形的可解性----作高构造直角三角形

明确斜三角形SSS、SAS、ASA、AAS可解得唯一解，

AAA无解，

SSA：常见两解，也可能唯一解或无解。83拓展研究的几个问题ABCABCABCABC斜三角形的可解性----作高构造直角3684要解决好图形的确立问题，即存在什么条件时图形不能唯一确定（分类讨论，不宜过难，可根据学生情况）？拓展研究的几个问题84要解决好图形的确立问题，即存在什么条件时图形不能唯一确定37解直5-6课时

2课时：直角三角形的解法（1课时），三角形中的边角计算（1课时）.解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把已知和未知联系起来.CBAa△ABC中，∠C=90°，已知a

，

∠A

，求b,c

.

b=atan(90°－∠A

)（尽量用乘法）解直5-6课时2课时：直角三角形的解法（1课时），三解直角38

解直5-6课时

例1：直角三角形可解的条件：已知两个条件，其中有一边的条件.直角三角形中的边角计算——解直角三角形.△ABC中，∠C=90°，

解△ABC.分析：Rt△ABC中，已知一边，不可解；由已知，Rt△ADC中，已知两边可解，求出∠DAC，进而得∠BAC；至此Rt△ABC中,已知一边一角可解.解直5-6课时例1：直角三角形可解的条件：已知两个条直39解直5-6课时例2：已知：△ABC中，CD、BE分别为AB与AC上的高，∠EBC=45°，∠DCB=30°，DC=12，求BE.分析：求BE，需要解Rt△BEC，已知一角，不可解；由已知，Rt△BDC中，已知一边一角可解，求出BC.至此Rt△BEC中,已知一边一角可解.解直5-6课时例2：已知：△ABC中，CD、BE分别为AB与40

解直5-6课时例3：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，∠B=30°，∠ADC=45°，求AC的长.分析：Rt△ABC，Rt△ADC均不可解；设DC=x，在Rt△ABC中，x解直5-6课时例3：已知：如图，△ABC中，∠C=9041

解直5-6课时例4：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°

，求BC的长.思路：作AE⊥BC于点E.Rt△ABE，可解，求出AE、BE，使Rt△ABE可解E解直5-6课时例4：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，42解直5-6课时例5：已知△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积.思路：由要求面积，容易想到作BD⊥AC于AC点D.Rt△CBD含75°

，边之关系不明确.

改作CD⊥AB点D.D解直5-6课时例5：已知△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，43解直5-6课时例6：在△ABC中，BC＝6，AC＝，∠A＝30°

，求AB的长.思路：已知两边一对角，有可能两解.作CE⊥AB于点E.EE解直5-6课时例6：在△ABC中，BC＝6，AC＝44

解直5-6课时例7：在△ABC中，AC=5，AB=3，BC=7，求∠A.

思路：作CD⊥AB交BA延长线于点D.D解直5-6课时例7：在△ABC中，AC=5，AB=3，BC45解直5-6课时

对于含30°、45°和60°的直角三角形，借助几何性质求解.重视规范书写的教学.要求学生先写出边角关系式，然后根据需要进行变形，不要求学生直接写出变形以后的式子.对于一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算问题，重在让学生体会通过作垂线可以转化为解直角三角形的问题.解直5-6课时对于含30°、45°和60°的直角三角形，借46应用举例7-9课时求折断树高问题.测高问题（底部可到达和不可达问题）（仰角、俯角）.航海中的探索问题（方向角）.修路建坝问题（坡度、坡角）.应用举例7-9课时求折断树高问题.测高问题（底部可到达和不可47总原则2.注意循序渐进：解直角三角形这一章是用代数方法研究直角三角形.在引入概念、推理论证、计算化简、解决实际问题时，都应该画图帮助确定对边、邻边，列出直角三角形中的边角关系，并进行定量计算.教学中教师要起好示范作用.1.注意形数结合：

学生的认识有一个由特殊到一般，由简单到复杂的发展过程.教学要适应这一规律，比如从研究含30°、50°角的直角三角形到含任意锐角的直角三角形，从开始的简单应用到后面的较复杂应用，由理论上的准备到实际测量活动，都是一个逐步深入提高的过程.教学中要注意这一点.总原则2.注意循序渐进：48总原则（1）转化的数学思想：通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计算问题转化为解直角三角形的问题；等角三角函数的转化；三角形中边角互化；3.渗透思想方法：总原则（1）转化的数学思想：3.渗透思想方法：49总原则（1）转化的数学思想：1.如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟25m的速度沿着与水平方向夹角为750的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，10分钟后，在D处测得着火点B的俯角是300，求热气球升空点A与着火点B的距离（结果精确到１m）.总原则（1）转化的数学思想：1.如图，在小山的东侧A处有一热50总原则（1）转化的数学思想：分析：∠B=30°，∠D=45°，AD=1000（米）.E总原则（1）转化的数学思想：分析：∠B=30°，∠D=4551总原则（1）转化的数学思想：2.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AB=5，AC=3，BD=E分析：作DE⊥BC于E.总原则（1）转化的数学思想：2.如图，∠ACB=∠ABD=952总原则（1）转化的数学思想：3.(P121C组2)已知：Rt△ABC，∠C=90°，思路1：“角”化边D作CD⊥AB于D的大小关系是什么？请说明理由.若△ABC为锐角三角形，结论又如何呢?总原则（1）转化的数学思想：3.(P121C组2)思路1：“