确定圆的条件（七大题型）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》确定圆的条件知识点一知识点一确定圆的条件◆1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定；◆2、过已知点作圆的个数：（1）过一点可以作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆.◆3、不在同一条直线上的三点确定一个圆.知识点二知识点二三角形的外接圆◆1、三角形的外接圆与外心（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.（2）叫做三角形的外心．（3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（4）三角形外心的位置：锐角三角形：外心在三角形的内部；直角三角形：外心在三角形的外部;钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点.◆5、外接圆的作法：分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆.题型一确定圆的条件题型一确定圆的条件【例题1】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点【分析】已知圆心和半径所作的圆就是唯一的，不在同一直线上的三点确定一个圆．【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，故选：D．【点评】本题主要考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上的三点确定一个圆得出是解题关键．解题技巧提炼确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，过不在同一条直线的三个点可以作一个圆.【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确，故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．【变式1-2】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，已知圆心和直径所作的圆是唯一的进行判断即可得出答案．【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是分类讨论．【变式1-3】下列说法错误的是（）A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆【分析】根据确定圆的条件进行判断．【解答】解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意．C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，到A、B两点的距离相等的点有无数个，这些点在以A、B为端点的线段的垂直平分线上，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意．D、过不在同一直线上的三个点A、B、C能作出三条线段，这三条线段的垂直平分线相交于一点，这个点到A、B、C三点的距离相等．所以经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．【变式1-4】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．【变式1-5】过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【分析】首先计算两个较短的线段长的和是否大于较长的线段长，从而判断出三点是否同一条直线上，进而可得A、B、C三点不能确定一个圆．【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆；②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；③A、B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆．故选：C．【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．题型二根据点判断圆的个数题型二根据点判断圆的个数【例题2】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，故选：D．【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．解题技巧提炼（1）过一点可以作无数个圆；线上；（3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆.【变式2-1】已知点A，B间的距离为2cm，则经过A，B两点，半径为2cm的圆能作（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由圆半径为2cm，AB＝2cm即可判断圆心在线段AB的垂直平分线上．【解答】解：画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，AB＝2cm，这样的圆能画两个，圆心在线段AB的垂直平分线上，且圆心到A点或B点的距离是2cm．故选：B．【点评】本题考查圆的有关知识，关键是比较2cm与圆半径的大小，即可知能否画出符合条件的圆．【变式2-2】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作个．【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．【解答】解：过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，故答案为：3．【点评】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．【变式2-3】如图，点ABC在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆，进而得出答案．【解答】解：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选：C．【点评】此题主要考查了确定圆的条件，熟练记忆确定圆的条件是解题关键．【变式2-4】平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆画出图形可得答案．【解答】解：如图所示：故选：C．【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．【变式2-5】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆画出图形，即可得出答案．【解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时n＝1，②当三点在一直线上时，如图2，分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即n＝3，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时n＝4，即n不能是2，故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件，主要考查学生的动手操作能力和画图能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目，有一定的难度．【变式2-6】平面内有A，B，C，D四个点，试探索：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作个圆；（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作圆；（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作个圆；（4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？【分析】（1）根据不共线的三点可以作圆得知四点共线不可以作圆；（2）线上的任意两点和线外的一点可以构成一个圆；（3）四个点中的任意三点可以作圆；（4）共线时同（1），不共线时同（4）；【解答】解：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作0个圆；（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3圆；（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆；（4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作4个圆，最少可以作0个圆．故答案为：0，3，1或4．【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆，难度不大．题型三确定圆心的位置题型三确定圆心的位置【例题3】（2023•兴庆区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．解题技巧提炼找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【变式3-1】（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．【变式3-2】在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上∴经过点A，B，C可以确定一个圆∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上∴设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上∴MB＝MC由勾股定理得：(2−3∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．【变式3-3】（2022秋•历下区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为．（2）求⊙M的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标；（2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据圆的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）；（2）连接MB，由勾股定理得MB=3故圆的面积为10π．【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置．【变式3-4】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=253∴圆片的半径R为253cm【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．题型四确定三角形外心的位置题型四确定三角形外心的位置【例题4】（2023春•仪征市期末）点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（）A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答．【解答】解：点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的三条垂直平分线交点，故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．解题技巧提炼锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．【变式4-1】若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．【解答】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，∴该三角形是直角三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜边的中点．【变式4-2】（2022秋•桐庐县期中）△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．【解答】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点．【变式4-3】（2023•任丘市模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP=2≠【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除A选项和B选项，由勾股定理得，BP＝CP=2≠∴排除C选项，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．【变式4-4】（2023•邢台一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【分析】根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可．【解答】解：∵OA＝OB=22+∴OA＝OB≠OE，∴点O不是△ABE的外心，故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．【变式4-5】（2022秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心．故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单．【变式4-6】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB=3∴外接圆⊙O的面积为：π×（10）2＝10π．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键．题型五利用三角形外心的性质求角度题型五利用三角形外心的性质求角度【例题5】（2023春•横山区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，则∠ABC的度数为（）A．65° B．50° C．30° D．25°【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠BOD＝∠BOC＝50°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接OC，∵BD＝BC，∴∠BOD＝∠BOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB=12（180°﹣∠故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．解题技巧提炼主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式5-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．（1）求∠OAC的度数；（2）求∠AOP的度数．【分析】（1）直接利用三角形外心的性质以及等腰三角形的性质得出即可；（2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA＝35°，进而结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC＝70°，AB＝AC，∴∠OAC＝35°（AO垂直平分BC，则三线合一），（2）∵O为△ABC的外心，∴AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝35°，∴∠AOC＝110°，∵△OCP为正三角形，∴∠AOP＝50°．【点评】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC＝∠OCA＝35°是解题关键．【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论，（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．【解答】解（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB＝AC，∴AB=∵AE过圆心O，∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），∴AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAE，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）设∠ABD＝x，由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，∴∠BDC＝3x，△BCD是等腰三角形，①若BD＝BC，则∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠BCD＝3x＝67.5°，②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，∴∠ABC＝∠ACB＝4x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴4x+4x+2x＝180°，∴x＝18°，∴∠BCD＝4x＝72°，综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．【点评】本题考查圆及内接三角形，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用．题型六利用三角形外心的性质求线段长题型六利用三角形外心的性质求线段长【例题6】（2023•巧家县二模）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点O为△ABC的外心，连接OA交BC于点M．若OA＝AC＝1，则BC的长为（）​A．3 B．23 C．3 【分析】连接OC，证明△OAC为等边三角形，求出∠OAC＝60°，求出MC后再求BC即可．【解答】解：连接OC，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，∵OA＝AC，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝60°，∵AB＝AC，∴AM⊥BC，在Rt△ACM中，MC＝AC•32∴BC＝2MC=3故选：A．【点评】本题考查了三角形外心性质、垂径定理性质的应用，等边三角形及三角函数的应用是解题关键．解题技巧提炼本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握垂径定理，以及三角形的中位线定理是解题的关键．【变式6-1】（2022•崇明区二模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是．【分析】根据垂直定义可得∠ADO＝90°，从而可得OD∥BC，进而可得AD＝DB=12AB＝4，AE＝EF，然后利用三角形的中位线定理可得CF＝2OE，最后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB=12AB＝4，AE＝∴OE是△AFC的中位线，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO=A∴CF＝2OE＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握垂径定理，以及三角形的中位线定理是解题的关键．【变式6-2】如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝．【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的中位线定理即可求得结论．【解答】解：连接DE，如图，∵点O是△ABC的外心，∴O是△ABC三边垂直平分线的交点，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12∵点M、N分别是OD、OE的中点，∴MN是△ODE的中位线．∴MN=12故答案为：1.5．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键．【变式6-3】（2022秋•江阴市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到AB=（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，∴AB=∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC=12BC在Rt△ODB中，OD=O∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC=1【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．题型七三角形的外接圆的综合题题型七三角形的外接圆的综合题【例题7】（2023•湖北模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，∠OAB=∠OAC∠OBA=∠OCA∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴a2解得，a=3∴BC＝2a＝37．【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．解题技巧提炼本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键，同时还利用全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式7-1】（2022秋•东莞市期末）如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M．（1）求证：AM⊥BC；（2）若BC＝6，AB=310，求⊙O【分析】（1）根据等腰三角形的性质和垂径定理得到结论；（2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到BM=12BC＝3，根据勾股定理得到AM=AB2−BM2=(310【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴AB=∵AM过圆心，∴AM⊥BC；（2）解：连接OB，∵AM⊥BC，AB＝AC，∴BM=12∵AB=310∴AM=A设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r，∵OB2＝BM2+OM2，∴r2＝32+（9﹣r）2，解得r＝5，故⊙O的半径为5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式7-2】如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．（1）证明：AB＝AC；（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心．【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，又由D是△ABC的边BC的中点，即可得AD是线段BC的垂直平分线，则可证得AB＝AC；（2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB＝OC，又由AO＝CO，则可得AO＝BO＝CO，则问题得证．【解答】（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD，∵BC∥EF，AD⊥EF，∴AD⊥BC，∴AB＝AC；（2）证明：连接BO，∵BD＝CD，AD⊥BC，∴BO＝CO，∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，∴点O是△ABC的外接圆的圆心．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内接圆的性质等知识．此题综合较强，但难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．【变式7-3】（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠OBC，于是得到结论；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB与△COB中，AB=BCOB=OB∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠ABO＝∠OBC，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD与△DBO中，AF=BD∠FAO=∠DBO∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴点O也是△DEF的外心．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式7-4】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：AB（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，