机械振动强迫振动

机械振动强迫振动第1页，课件共47页，创作于2023年2月3.8系统对任意激励的响应·卷积积分上节讨论了周期激励作用下的振动响应，在不考虑初始阶段的瞬态响应时，它是稳态的周期振动。但在现实中激励并非是周期的，而是任意的周期函数，或者是在极短时间内的冲击作用。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。激励停止后，系统按固有频率作自由振动。若激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也会持续下去。对任意激励的响应，求解方法有多种：第2页，课件共47页，创作于2023年2月3.8.1脉冲响应对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t)

表示δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：对于τ时刻的单位脉冲函数，表示为：

O-ε

ε

（3.1.1）第3页，课件共47页，创作于2023年2月δ函数的性质:特别地，当时刻τ=0

时，有：实际应用时，通常

f(t)在时才有意义冲量为的脉冲力可借助δ函数表示为：

当I=1时，为单位脉冲力。因而有：

第4页，课件共47页，创作于2023年2月现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应单位脉冲响应记：-ε、ε为单位脉冲力的前后时刻运动微分方程与初始条件可合写为：或脉冲响应乘dt：在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变令：0-εε第5页，课件共47页，创作于2023年2月两边在区间内对时间积分：

在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，也习惯表示为：x(0+)=x(0-)

当

t>ε时，脉冲力作用已经结束，此时物体得到了速度增量1/m。由于ε无限小，所以记为：质量越大，越小质量越小，越大若系统受到冲量为I脉冲作用，结束时物体得到了速度增量I/m。第6页，课件共47页，创作于2023年2月系统受脉冲I

作用，因脉冲结束后无后续激励，因此响应为自由振动。其初始条件为：初位移为零，而初速度为I/m

。对无阻尼系统：因此解为：对单位脉冲，其响应为脉冲响应，记为h(t)

：第7页，课件共47页，创作于2023年2月3.8.2卷积积分当处于零初始条件的系统受到任意激励时，可以将激励F(t)

看作一系列脉冲力的叠加对于时刻t=τ的脉冲力，系统受脉冲作用后产生速度增量：

并引起t>τ各个时刻的响应系统的脉冲响应：其冲量为：由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间内各个脉冲响应的总和

得：杜哈梅(Duhamel)积分第8页，课件共47页，创作于2023年2月利用卷积性质：若初始条件非零，则：第9页，课件共47页，创作于2023年2月若阻尼为零，则非零初值条件下的响应：对于周期激励的无阻尼系统：与零初值条件的受迫振动的稳态响应一致。

第10页，课件共47页，创作于2023年2月3.8.3阶跃函数响应在t1时刻开始受到突加的常值力作用，强度为F0试用杜哈梅积分计算系统在t≥t1时段内的响应。解：由于在t<t1时段内没有受到激励，故杜哈梅积分的下限改为t1：（F0=1时，为单位阶跃函数）第11页，课件共47页，创作于2023年2月第12页，课件共47页，创作于2023年2月若激励开始的时间无滞后，即t1=0，得到无阻尼系统，即ζ

=0，对于激励时间有无滞后，响应分别为第13页，课件共47页，创作于2023年2月本例子的滞后t1的突加常值力其特例是单位阶跃函数：单位阶跃函数的导数等于脉冲函数：第14页，课件共47页，创作于2023年2月例3.8.4：弹簧－质量系统在（0，t1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用解：矩形脉冲力可利用单位阶跃函数表达为：试用杜哈梅积分计算系统的响应。在0≤t≤t1时段，其激励尚未结束，响应与常值力激励相同：第15页，课件共47页，创作于2023年2月在t>t1时段，其激励相当于2个常值力激励的叠加，响应也是两个对应的响应叠加。因此利用上例的结果：第16页，课件共47页，创作于2023年2月即得到解：对于无阻尼系统，即ζ

=0，矩形脉冲激励的响应为：第17页，课件共47页，创作于2023年2月直接解法：（1）时第18页，课件共47页，创作于2023年2月（2）时第19页，课件共47页，创作于2023年2月解法三：（仅对于无阻尼情形）当t>t1

时激励力已经消失，此时系统将以时刻t=t1

时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动先求t=t1

时刻的位移和速度，前面已解得：得t=t1

时刻的位移和速度：第20页，课件共47页，创作于2023年2月即为t>t1

时的响应。在t=t1

开始作自由振动：第21页，课件共47页，创作于2023年2月3.9系统对任意激励的响应·傅里叶积分上节讲到用杜哈梅积分，可以计算任意非周期激励的响应。那是在时间域内的变化关系，本节从另一角度出发，改在频率域内讨论激励和响应的关系。第22页，课件共47页，创作于2023年2月对于任意非周期函数F(t)，可看成为周期T趋于无限大的周期函数。频谱图中相邻频率Δω=2π/T视为无限小量，则可以认为频率在区间(-∞,∞)上接近于连续分布。

设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为傅里叶级数，以复数形式表示为：

其中：

回顾，傅里叶展开级数：第23页，课件共47页，创作于2023年2月将傅里叶展开式中的nω改用ωn表示，周期T以2π/Δω代替：当Δω→0时，离散变量ωn转变为连续改变的频率变量ω，上式转化为：（3.9-5）将其中的TFn视为ω的连续函数，改用Φ(ω)表示：（3.9-7）第24页，课件共47页，创作于2023年2月Φ(ω)称为激励的频谱函数。积分式（3.9-8）称为函数F(t)的傅里叶变换。（3.9-8）（3.9-7）积分式（3.9-7）称为函数Φ(ω)的傅里叶逆变换，它将非周期函数F(t)表示为频率为ω、强度为Φ(ω)dω的简谐分量的无限和。函数Φ(ω)和F(t)共称为傅里叶变换对。第25页，课件共47页，创作于2023年2月回顾，受迫振动：（b）其中Xn为系统的第n阶复振幅。（a）（b）代入（a）：第26页，课件共47页，创作于2023年2月（3.9-9）令X(ω)=H(ω)Φ(ω),求x(t)：F(t)傅里叶变换得Φ(ω)，乘H(ω)

，傅里叶逆变换。x(t)与X(ω)

组成傅里叶变换对。X(ω)

为系统响应的频率域表达式。第27页，课件共47页，创作于2023年2月例3.9.1质量-弹簧系统受矩形脉冲激励，试对激励作傅里叶变换，并作频谱图。讨论脉冲宽度趋于零的单位脉冲的极限情形解：利用（3.9.8）式积分求频谱函数第28页，课件共47页，创作于2023年2月矩形脉冲的频谱图对于脉冲宽度趋于零的单位脉冲情形即单位脉冲的傅里叶变换等于1，其频谱在区间（-∞,∞）内均匀分布矩形脉冲的频谱函数第29页，课件共47页，创作于2023年2月3.10用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数计算线性系统对任意非周期激励的响应也可以用拉普拉斯（Laplace,P.S.）变换。对于任意函数x(t)，定义拉普拉斯(Laplace,P.S.)变换式为其中s=σ

+iω为复变量，称为拉普拉斯变换的辅助变量。当σ

=0时，这是x(t)的傅里叶变换。因此拉普拉斯变换可视为傅里叶变换向复数域的扩展。（3.10-1）第30页，课件共47页，创作于2023年2月可以证实，拉普拉斯变换为线性变换：对x(t)的一阶导数做拉普拉斯变换：（3.10-2）对x(t)的二阶导数做拉普拉斯变换：（3.10-3）第31页，课件共47页，创作于2023年2月利用以上公式对线性系统受迫振动方程做拉普拉斯变换：上式是将自变量t的线性常微分方程变换成自变量为s的代数方程，且包含了外激励和初始扰动在内的全部激励，是拉普拉斯变换的最大优点。（3.10-4）令：（3.10-5）第32页，课件共47页，创作于2023年2月如激励力F(t)延迟在t=t1时刻发生，将F(t-t1)代入拉普拉斯变换式：作用时间滞后对拉普拉斯变换的影响由指数函数体现若初始扰动为零，从方程（3.10-5）导出：若s=iω,上式就是第二章讲到的位移阻抗（k-mω2+icω）。因此Z(s)称为系统的广义阻抗，其倒数称为系统的传递函数或广义导纳。记作：第33页，课件共47页，创作于2023年2月若s=iω,上式就是第二章讲到的复频响应函数1/(k-mω2+icω)。系统响应x(t)的拉普拉斯变换X(s):。因此，传递函数H(s)可视为激励力的拉普拉斯变换Φ(s)计算响应的拉普拉斯变换X(s)的代数算子。导出X(s)以后，通过拉普拉斯逆变换，即可得到系统响应。拉普拉斯逆变换是在复数域内的积分，但不必具体做积分运算，因为各种典型函数的拉普拉斯变换和逆变换均有现成表格可供查阅。第34页，课件共47页，创作于2023年2月从以上分析过程可以看出，拉普拉斯变换将线性常微分方程转化为代数方程，通过逆变换得到微分方程的解。下图表示其计算流程。X(s)=H(s)Φ(s)H(s)F(t)Φ(s)x(t)P67表3.10-1有几种常见激励力所对应的拉普拉斯变换对，更多的变换对可查阅数学手册。第35页，课件共47页，创作于2023年2月例3.10.2无阻尼质量－弹簧系统在t1时刻开始受到突加的常值力作用，强度为F0试用拉普拉斯变换计算系统在t≥t1时段内的响应。解：对激励力进行拉普拉斯变换：其中：1/s为阶跃函数对应的拉普拉斯变换，第36页，课件共47页，创作于2023年2月体现作用时间的滞后。无阻尼动力学方程的拉普拉斯变换（c=0）：查X(s)各项的逆变换：第37页，课件共47页，创作于2023年2月相当于滞后t1时刻查表查表变换是线性的第38页，课件共47页，创作于2023年2月与上节例子的解（考虑初始条件）一样。杜哈梅积分部分对初始条件的响应第39页，课件共47页，创作于2023年2月例3.10.3：无阻尼质量——弹簧系统在（0，t1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用解：矩形脉冲力可利用单位阶跃函数表达为：试用拉普拉斯变换计算系统的响应。第40页，课件共47页，创作于2023年2月无阻尼动力学方程的拉普拉斯变换（c=0）：第41页，课件共47页，创作于2023年2月相当于滞后t1时刻查表查表变换是线性的第42页，课件共47页，创作于2023年2月第43页，课件共47页，创作于2023年2月可以证明，脉冲响应函数h(t)与复频率响应函数H(ω)

也恰好组成傅里叶变换对。设系统受单位脉冲激励，令：脉冲响应为：脉冲激励的傅里叶变换：3.11复频率响应与