【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版） 等腰三角形中的分类讨论（解析版）

等腰三角形中的分类讨论1．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，解得a=3，b=4，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，∵4+4＞3，∴能组成三角形，4+4+3=11，②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，所以，三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．2．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（

）．A．8 B．6或8 C．7 D．7或8【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：∵，∴解得，①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．3．等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【解析】【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．【详解】解：①若70°是底角，则顶角为：180°-70°×2=40°；②若70°为顶角，则顶角的度数是70°；综上所述，顶角的度数为40°或70°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．4．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是(

)A． B．或 C．或 D．【答案】B【解析】【分析】首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．【详解】解：本题可分两种情况：①当角为底角时，顶角为；②角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为或．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．5．等腰三角形的一个角比另一个角的倍少度，则等腰三角形顶角的度数是（

）A． B．或 C．或 D．或或【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，∴顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．6．若等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（

）A．50° B．80° C．40°或80° D．50°或80°【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可；【详解】当80°为底角时，则底角为80°，当80°为顶角时，则底角为：故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉；7．若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（

）A．80° B．20° C．80°或20° D．40°【答案】C【解析】【分析】可分两种情况：当角为顶角时；当角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求解即可．【详解】解：当角为顶角时，则等腰三角形的顶角为；当角为底角时，等腰三角形的顶角为，即此等腰三角形的顶角为或．故选：．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．8．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为（

）A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【解析】【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，画出相应图形，求出∠BAC的度数，进而根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图1，当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A＝40°，又∵，∴∠B＝＝＝70°；如图2，当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠NAB＝40°，∴∠BAC＝140°，又∵，∴∠B＝∠C＝＝20°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是运用分类讨论思想画出图形，求出∠BAC的度数．9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形底角的度数为（

）A．20° B．20°或70° C．70° D．无法确定【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，即可求出底角的度数．【详解】解：分两种情况讨论：①若，如图1所示：，，，，，；②若，如图2所示：同①可得：，，，；综上所述：等腰三角形底角的度数为或，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义，解题的关键是注意分类讨论方法的运用，避免漏解．10．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（

）度A．25或60 B．40或60 C．25或40 D．40【答案】C【解析】【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则其顶角度数为（

）．A．60°或120° B．30°或150° C．30° D．60°【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质分析，即可得到答案．【详解】分两种情况讨论；如下图，过点B作交AC于点D∴根据题意得：∴如下图，过点B作交CA延长线于点D∴根据题意得：∴∴故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．12．在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点O，如果∠BOC=100°，则∠A等于（

）A．50°或120° B．60°或130° C．60°或120° D．50°或130°【答案】D【解析】【分析】画出符合条件的两种情况，根据线段垂直平分线性质得出AO＝BO、AO＝OC，推出∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO，根据三角形内角和定理和四边形内角和定理求出即可．【详解】解：分为两种情况：如图1，当∠BAC为锐角时，连接AO，∵在ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点O，∴AO＝BO，CO＝AO，∴∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC＋∠OCB＝180°－100°＝80°，∵∠BOC＝100°，∠BAC＝∠BAO＋∠CAO，∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＋∠OCB＋∠OBC＋∠ABO＝180°，∴2∠BAC＝180°－80°＝100°，∴∠BAC＝50°；如图2，当∠BAC为钝角时，同理，2∠BAC＝360°－∠BOC＝360°－100°＝260°，∴∠BAC＝130°；即∠BAC＝50°或130°，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，多边形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．13．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角45°，那么这个等腰三角形的底角为（

）A．67°50′ B．22° C．67.5° D．22.5°或67.5°【答案】D【解析】【分析】先知三角形有两种情况（1）（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．【详解】有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=45°，∴∠A=90°-45°=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°-45°）=67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=45°，∴∠HEF=90°-45°=45°，∴∠FEG=180°-45°=135°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°-135°）=22.5°，综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的高，三角形内角和定理等，解题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角．14．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【答案】B【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b．∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝AC＝a．根据题意得或解得或又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．15．等腰三角形中，边上的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC为钝角三角形时，求得△BAC的外角，利用外角的性质求得∠A.【详解】解:当△ABC为锐角三角形时，如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E,∵∠ADE=40°,DE⊥AB,∴∠A=90°-40°=50°，当△ABC为钝角三角形时，如图，设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,∵∠ADE=40°，DE⊥AB,∴∠DAB=50°,∴∠BAC=180°-∠DAB=130°故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键.16．在平面直角坐标系中，A（2，3），O为原点，若点B为坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角形，则这样的B点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【解析】【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点B有8个，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．17．已知等腰中，于点，且，则底角的度数为（

）A．30°或45° B．30°或45°或75° C．15°或45°或75° D．45°或75°【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论，①当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；②当AB=BC，∠B为锐角时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；③当AB=BC，∠CBA为钝角时，根据ADBC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．【详解】①如图1，当AB=AC时．∵AD⊥BC，∴BD=CD．∵ADBC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°；②如图2，当AB=BC，∠B为锐角时．∵ADBC，∴ADAB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．③如图3，当AB=BC，∠CBA为钝角时．∵ADBC，AB=BC，∴ADAB，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°，∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故选：