三角形辅助线的作法之中线倍长法课件

八年级全等三角形辅助线的作法红安县马井中学杨勇系列微课八年级全等三角形辅助线的作法红安县马井中学杨勇系1八年级全等三角形辅助线的作法

第一讲截长补短法红安县马井中学杨勇八年级全等三角形辅助线的作法第一讲截长补短法红安县马井2一、截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．分析：要证AB=AC+CD，此三条线段都不在同一直线上．

可以有截长和补短两条思路。一、截长补短分析：要证AB=AC+CD，此三条线段都不在同3E

E

4E证法1：延长AC到点E使得CE=CD,则∠E=∠CDE

∴

∠ACB=2∠E,又∵∠ACB=2∠B

∴

∠B=∠E,又∵AD平分∠BAC,

∴∠1=∠2在△ABD和△AED中∠B=∠E（已证）∠1=∠2（已知）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AED（AAS）∴AB=AE（全等三角形对应边相等）又∵AE=AC+CE,CE=CD∴AB=AE=AC+CD,即AB=AC+CDE证法1：延长AC到点E使得CE=CD,则∠E=∠CDE5F

F

6F证法2：在AB上截取AF=AC

由SAS易证△AFD≌△ACD

则CD=FD,∠C=∠AFD,又∵∠ACB=2∠B则∠AFD=2∠B又∵∠AFD=∠B+∠BDF∴∠BDF=∠B∴FD=FB∵AC=AF,FD=FB,FD=CD,∴AB=AF+FB=AC+CD,

即AB=AC+CD

F证法2：在AB上截取AF=AC7练习1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．

分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．练习1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分8练习1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．

证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°

∴∠BAC+∠ACB+∠B=180°（三角形内角和定理）则∠1+∠2=60°（角平分线性质），∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°（三角形外角性质）．

显然，△AEO≌△AFO（SAS），∴∠5=∠4=60°(全等三角形性质)，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°（平角性质）

在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°（已证），

∠2=∠3(已证)，OC=OC（公共边）

∴△DOC≌△FOC（ASA），

∴

CF=CD（全等三角形性质）

∴AC=AF+CF=AE+CD．（等量代换）练习1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分9注意：截长补短不仅适用于线段之间，也适用于角之间。一般地，当所证结论为角的和、差关系，且这两个角不在同一个顶点处时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在大角上截取一部分使之与一个小角相等；或将小角扩大使其与大角相等．

注意：截长补短不仅适用于线段之间，也适用于角之间。一般地，当10

11

？？

？？12

PE=PD（已证）CD=AE（已证）

PE=PD（已证）CD=AE（已证）

13谢谢观赏

第一讲截长补短法红安县马井中学杨勇谢谢观赏第一讲截长补短法红安县马井中学杨勇14八年级全等三角形辅助线的作法

第二讲中线倍长法红安县马井中学杨勇八年级全等三角形辅助线的作法第二讲中线倍长法红安县马井15二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．

例3．已知△ABC中，AD是其BC边上的中线。(1)求证：|AB-AC|<2AD<AB+AC(2)已知三角形的两边长分别为7和5，求第三边上

的中线的取值范围.分析：从此不等式可以看出非常像三角形的三边关系，因此我们需要构造一个以AB、AC及2AD为边的三角形，所以我们就要加倍延长中线AD到点E使得AE=2AD,连接BE，若证得BE=AC,则问题得证。第（2）问则根据第一问的

关系可以直接写出AD的范围。二、中线倍长

分析：从此不等式可以看出非常像三角形的三边关系16（1）证明：如图所示，延长AD至E，使DE=AD．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD

又∵∠ADC=∠EDB（对顶角相等）∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴BE=AC(全等三角形性质)

∴在△ABE中|AB-AC|<AE<AB+AC（三角形三边关系性质定理）

即|AB-AC|<2AD<AB+AC

(2)解：由（1）知7-5＜2AD＜7+5

∴1＜AD＜6

例3．已知△ABC中，AD是其BC边上的中线。(1)求证：|AB-AC|<2AD<AB+AC

(2)已知三角形的两边长分别为7和5，求第三边上

的中线的取值范围.（1）证明：如图所示，延长AD至E，使DE=AD．

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练习3.已知:如图△ABC中，CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是其BD边上的中线。求证：AC=2AE

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例4．已知：如图点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE.

求证：AB=CDDE后，

DE后，19证明：如图所示，延长DE至F，使DE=EF．

则易证△DEC≌△FEB(SAS)

∴DC=BF,∠D=∠F(全等三角形性质)

又∵∠D=∠BAE∴∠BAE=∠F∴AB=BF

又∵DC=BF∴AB=CD

例4．已知：如图点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE.

求证：AB=CD证明：如图所示，延长DE至F，使DE=EF．

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21小结：在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，证明全等时常见的两种辅助线1.截长补短：当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法；当所证结论为角的和、差关系，且这两个角不在同一个顶点处时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在大角上截