圆周角练习题

圆周角练习题1、如图，三点A、B、C在⊙O上，且∠AOC=100°，则求∠ABC的度数。解：根据圆周角定理，∠AOC所对的圆周角为360°，∠AOC=100°，则∠BAC=360°-∠AOC=260°。又∠BAC和∠ABC是邻角，它们的和为180°，则∠ABC=180°-∠BAC=180°-260°=-80°，所以∠ABC的度数为80°。2、如图，给出四个角的大小关系，求正确的选项。解：根据图中所示，∠4和∠2都是对角线AC所夹的圆周角，它们的度数相等，而∠1和∠3是对角线BD所夹的圆周角，它们的度数相等。又∠2和∠3是邻角，它们的和为180°，则∠4<∠2=∠3<∠1，所以选项B是正确的。3、如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，且OB=5，∠CAD=30°，求BC的长度。解：根据正弦定理，sin∠ACB=sin∠CAD=1/2，所以∠ACB=30°。又因为OB⊥AD，所以∠OBA=90°，∠OBC=∠OBA-∠ACB=60°。又因为OB=5，所以BC=2×OB×sin∠OBC=5×√3/2=5√3/2。4、如图，D是AC的中点，求与∠ABD相等的角的个数。解：因为D是AC的中点，所以AD=DC，∠ADB=∠BDC=90°。又因为∠ABD是三角形ABD的内角，所以∠ABD<180°，所以只有1个角与∠ABD相等。5、如图，已知∠AOB=100°，求∠A+∠B的度数。解：因为∠AOB是圆周角，所以它的度数为360°，∠AOB=100°，则∠A+∠B=360°-∠AOB=260°。6、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，求该弦所对的圆周角的度数。解：因为弦的长度为R，所以它的中点与圆心重合，所以该弦所对的圆周角的度数为2×∠AOC=2×60°=120°。7、如图，⊙O的直径MN⊥AB于P，且∠BMN=30°，求∠AON的度数。解：因为MN是⊙O的直径，所以∠MNO=90°，又∠BMN=30°，则∠BNO=60°。又因为∠AON和∠BNO是邻角，它们的和为180°，则∠AON=180°-∠BNO=120°。8、如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，则求∠ACB和∠OAC的度数。解：因为∠AOB是直角，所以它的度数为90°。又因为∠ACB是圆周角，所以它的度数为360°-∠AOB=270°。又因为∠OAC和∠OBC是邻角，它们的和为90°，则∠OAC=90°-∠OBC=30°。9、如图，已知O为△ABC边AB上一点，⊙O经过BC交AC于D，且AD=OB，∠B=54°，求∠A的度数。解：因为O为△ABC边AB上一点，所以∠OAB=∠OBA，又因为AD=OB，所以△OAD和△OBA是等腰三角形，所以∠OAD=∠OBA，所以∠AOD=∠B。又因为⊙O经过BC交AC于D，所以∠BDC=90°，又因为AD=OB，所以∠ADB=∠ABD=18°，则∠ADC=∠ADB+∠BDC=108°。又因为∠AOD和∠ADC是对顶角，它们的度数相等，所以∠AOD=∠ADC=108°，则∠A=360°-∠AOD-∠B=360°-108°-54°=198°。10、如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，求∠1+∠2的度数。解：因为A、B是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，又因为∠1和∠2是对角线CE所夹的圆周角，它们的度数相等，所以∠1=∠2，又因为∠BCE和∠BDE是邻角，它们的和为180°，则∠1+∠2=180°-∠BCE=180°-∠ACB=90°。11、如图，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，求⊙O的半径。解：因为△ABC为⊙O内接三角形，所以∠BOC=2∠A=120°，则∠BOC是圆周角，它的度数为360°，所以⊙O的半径为BC/2sin∠BOC/2=1/2sin60°=√3/4。12、半径为2a的⊙O中，弦AB的长为23a，求弦AB所对的圆周角的度数。解：因为弦AB的长度为23a，所以它的中点与圆心重合，所以弦AB所对的圆周角的度数为2arcsin(AB/2R)=2arcsin(23a/4a)=2arcsin(23/4)=2×85.8°=171.6°。13、如图所示，在半径为2cm的⊙o中，∠A=30°，求弦BC的长度。解：因为∠A是圆周角，所以它的度数为360°，所以∠BOC=360°-∠A=330°。又因为BC是弦，所以OB⊥BC，所以∠OBC=90°，则∠BOC-∠OBC=240°，所以∠BCO=120°。又因为OC=OB=2cm，所以BC=2×OC×sin∠BCO=2×2cm×√3/2=2√3cm。14、如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙o截△ABC的三条边所得的弦长相等，求∠BOC的度数。解：因为⊙o截△ABC的三条边所得的弦长相等，所以∠BAC=∠BCA，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B=55°，则∠BOC=2∠B=110°。15、如图，⊙O中ACBD和ABCD所对的圆心角度数分别为80°和40°，延长BA和DC相交于P，求∠P的度数。解：因为ACBD和ABCD是梯形，所以∠ADC=∠ABC=40°，又因为∠ACD和∠ABD是对角线所夹的圆周角，它们的度数相等，所以∠ACD=∠ABD=80°。又因为∠BAP和∠DCP是对角线所夹的圆周角，它们的度数相等，所以∠BAP=∠DCP，又因为∠BAP和∠ABD是邻角，它们的和为180°，则∠P=180°-∠BAP-∠ABD=180°-80°-40°=60°。17、如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，且AD∥BC，对角线AC与BC相交于点E，则图中有2对全等三角形。18、已知，如图，∠BAC的邻补角∠BAD=100°，则∠BOC=80°。19、如图，A、B、C为圆O上三点，若∠OAB=46°，则∠ACB=64°。20、如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB=30°，则点O到CD的距离OE=1。21、如图，圆C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°。（1）证明：连接AC，由于圆C经过坐标原点，故圆心C的坐标为（0，0），又因为AB是圆C的直径，所以AC⊥AB，即∠ACB=90°，又∠BMO=120°，所以∠AMC=60°，因此∠BAC=∠MAC+∠MAB=60°+90°=150°，而∠BAD=100°，所以∠BAC+∠BAD=250°>180°，即AB不可能是一条弦，故AB为圆C的直径。（2）由于圆C经过坐标原点，故圆心C的坐标为（0，0），又因为AB是圆C的直径，所以圆C的半径为2。22、如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，点