2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第二讲导数的简单应用课件理

第三章导数及其应用第二讲导数的简单应用要点提炼

导数与函数的单调性考点1条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)内可导f

＇(x)>0f(x)在区间(a,b)内单调递

f(x)在区间(a,b)内单调递减

恒有

f(x)在区间(a,b)内是常数函数思维拓展用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)f＇(x)>0(<0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件.(2)f＇(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.(3)若f＇(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f＇(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.增f

＇(x)<0f

＇(x)=0

导数与函数的极值、最值考点21.函数的极值条件f

＇(x0)=0x0附近的左侧f

＇(x)>0,右侧f

＇(x)<0x0附近的左侧f

＇(x)

0,右侧f

＇(x)

0图象极值f(x0)为极大值

为极小值

极值点x0为极大值点x0为

极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.<>f(x0)极小值点

导数与函数的极值、最值考点2易错警示(1)极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1).(2)极大值与极小值没有必然关系,极小值可能比极大值还大.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)f＇(x0)=0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3,f＇(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值若在区间[a,b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则在[a,b]上f(x)必有最大值与最小值.

导数与函数的极值、最值考点2辨析比较函数极值与最值的区别与联系

极值最值区别(1)极值是个“局部”概念,只能在定义域内部取得;(2)在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个都没有.(1)最值是个“整体”概念,可以在区间的端点处取得;(2)最值最多有一个.联系(1)极值有可能成为最值,最值只要不在区间端点处取得,必定是极值;(2)在区间[a,b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值,则这个极值就是最值.

生活中的优化问题考点3生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为:注意

在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)若函数f(x)在定义域上都有f

＇(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减.(

)(2)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f

＇(x)>0.(

)(3)在某区间上f

＇(x)>0(f

＇(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.(

)(4)在(a,b)上f

＇(x)≤0,且f

＇(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上单调递减.(

)(5)函数f(x)=sinx-2x在(0,π)上单调递减.(

)(6)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.(

)(7)函数的极大值比极小值大.(

)(8)f

＇(x0)=0是x0为可导函数y=f(x)的极值点的充分不必要条件.(

)✕✕✕√✕√√✕(9)函数的最大值不一定是极大值,极大值也不一定是最大值.(

)2.[2022黑龙江省大庆市二校联考][易错题]如图是函数y=f(x)的导函数的图象,则下列结论正确的是(

)A.f(x)在[-2,-1]上是增函数B.当x=3时,f(x)取得最小值C.当x=-1时,f(x)取得极大值D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在(2,4]上是减函数√D考向扫描

利用导数研究函数的单调性考向1

利用导数研究函数的单调性考向1

利用导数研究函数的单调性考向1

利用导数研究函数的单调性考向1方法技巧1.利用导数研究函数单调性的方法方法一:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f＇(x);(3)由f＇(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围,对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间.方法二:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f＇(x),并求方程f＇(x)=0的根;(3)利用f＇(x)=0的根和函数不连续点的横坐标将函数的定义域分成若干

利用导数研究函数的单调性考向1个子区间,在这些子区间上讨论f

＇(x)的正负,由符号确定f(x)在子区间上的单调性.2.确定单调区间端点值的三个依据:(1)导函数等于0的点;(2)函数不连续的点;(3)函数不可导的点.3.对于含参数的函数的单调性问题,一般需对参数进行分类讨论,如果一阶导数的正负不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,判断二阶导数的正负.分类讨论主要是(1)讨论f

＇(x)=0是否有根;(2)讨论f

＇(x)=0的根是否在定义域内;(3)讨论根的大小关系.

利用导数研究函数的单调性考向1注意

(1)求函数的单调区间,要在函数的定义域内讨论;(2)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.2.变式[2021全国卷乙]已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

利用导数研究函数的单调性考向1

利用导数研究函数的单调性考向1

函数单调性的应用考向2角度1已知函数的单调性求参数

C

函数单调性的应用考向2

方法技巧已知函数的单调性求参数的取值范围的常见类型和解题技巧常见类型解题技巧已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减).转化为f＇(x)≥0(或f＇(x)≤0)对x∈D恒成立问题.注意

不是f＇(x)>0(或f＇(x)<0)恒成立,“=”不能少,必要时还需对“=”进行检验.

函数单调性的应用考向2已知可导函数f(x)在某一区间上存在单调区间.转化为f＇(x)>0(或f＇(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数.先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.已知f(x)在区间D上不单调.转化为f＇(x)=0在区间D上有解求解.也可先求出f(x)在区间D上单调时参数的取值范围,然后运用补集思想得解.

函数单调性的应用考向2

(-∞,-3]

函数单调性的应用考向2

函数单调性的应用考向2

函数单调性的应用考向2角度2比较大小或解不等式

C

函数单调性的应用考向2

函数单调性的应用考向2方法技巧利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,借助导数研究构造的函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式.

B

函数单调性的应用考向2

利用导数研究函数的极值和最值考向3角度1求函数的极值或最值7.典例(1)[2017全国卷Ⅱ][理]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(

)A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1(2)[2021新高考卷Ⅰ]函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为

.

A1解析

(1)因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f＇(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f＇(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.

利用导数研究函数的极值和最值考向3

利用导数研究函数的极值和最值考向3方法技巧1.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域,求导数f＇(x);(2)求方程f＇(x)=0的根;(3)检验f＇(x)在方程f＇(x)=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:xx<x0x0x>x0f＇(x)f＇(x)>0f＇(x)=0f＇(x)<0f(x)增极大值f(x0)减

xx<x0x0x>x0f＇(x)f＇(x)<0f＇(x)=0f＇(x)>0f(x)减极小值f(x0)增(4)得出结论.

利用导数研究函数的极值和最值考向32.求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(递减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值;(2)若函数在区间(a,b)内有极值,则要先求出函数在(a,b)内的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.注意

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,一般要根据函数的极值及单调性画出函数的大致图象,借助图象求解.

利用导数研究函数的极值和最值考向3

利用导数研究函数的极值和最值考向3

利用导数研究函数的极值和最值考向3角度2已知函数的极值、最值求参数9.典例[2018北京高考][理]设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解析

(Ⅰ)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f＇(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f＇(1)=(1-a)e.由题设知f＇(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.

利用导数研究函数的极值和最值考向3

利用导数研究函数的极值和最值考向3方法技巧1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式根据极值以及极值点处导数为0列方程(组),利用待定系数法求解.验证因为f

＇(x0)=0不是x0为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上存在极值点,则y=f(x)在(a,b)上不是单调函数,即函数y=f＇(x)在区间(a,b)内存在变号零点.

利用导数研究函数的极值和最值考向310.变式[2019全国卷Ⅲ][理]已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.

利用导数研究函数的极值和最值考向3

利用导数研究函数的极值和最值考向3

导函数图象的应用考向411.典例[2017浙江高考]函数y=f(x)的导函数y=f

＇(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)A B C DD

导函数图象的应用考向4解析

根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f(x)在这些零点处取得极值,根据极值个数和极值点符号可排除A,B;记导函数f＇(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f＇(x)<0,在(x1,x2)上f＇(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除C.选D.

导函数图象的应用考向4方法技巧导函数图象的应用策略(1)先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号,进而判断函数极值的情况.(2)由导函数y=f＇(x)的图象可以看出y=f＇(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.

导函数图象的应用考向4

B

导函数图象的应用考向4

导函数图象的应用考向4对于③,由题图知,在区间[a,x3]上,f＇(x)≥0,在区间[x3,x5]上,f＇(x)≤0,在区间[x5,b]上,f＇(x)≥0,所以y=f(x)有一个极大值点x3和一个极小值点x5,故③错误;对于④,由题图知,在区间[x2,x3]上,f＇(x)≥0,且f＇(x)单调递减,故y=f(x)单调递增,故f＇(p)>f＇(q),f(p)<f(q),故[f(p)-f(q)]·[f＇(p)-f＇(q)]<0,即④正确.综上,正确命题的序号是②④.故选B.

利用导数解最优化问题考向513.典例[2020江苏高考]某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO＇为铅垂线(O＇在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO＇的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO＇的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO＇的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO＇的桥墩CD和EF,

利用导数解最优化问题考向5且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O＇E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?

导函数图象的应用考向4

导函数图象的应用考向4

x(0,20)20(20,40)f＇(x)-0+f(x)↘极小值↗所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当O＇E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.

导函数图象的应用考向4方法技巧利用导数解决生活中实际应用问题的一般步骤注意

在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最值.攻坚克难运用构造法求解f(x)与f＇(x)共存的不等式问题数学探索类型1只含f

＇(x)型14.典例[2021郑州市三模]已知奇函数f(x)在R上的导数为f‘(x),且当x∈(-∞,0]时,f’(x)<1,则不等式f(2x-1011)-f(x+1010)≥x-2021的解集为（）

A.(2021,+∞) B.[2021,+∞)C.(-∞,2021] D.(-∞,2021)解析

令g(x)=f(x)-x,

(由条件f＇(x)<1构造函数g(x))则g＇(x)=f＇(x)-1,因为当x∈(-∞,0]时,f＇(x)<1,所以当x∈(-∞,0]时,g＇(x)<0,g(x)在(-∞,0]上单调递减,又函数f(x)为奇函数,所以g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-g(x),即g(x)也为奇函数,C运用构造法求解f(x)与f＇(x)共存的不等式问题数学探索所以函数g(x)在R上单调递减.(判断g(x)的单调性)由f(2x-1011)-f(x+1010)≥x-2021,得f(2x-1011)-(2x-1011)≥f(x+1010)-(x+1010),即g(2x-1011)≥g(x+1010).(将所求不等式两边变为g(x)的同型)由g(x)单调性可得2x-1011≤x+1010,解得x≤2021,(根据g(x)的单调性解不等式)即原不等式的解集为(-∞,2021].运用构造法求解f(x)与f＇(x)共存的不等式问题数学探索

方法技巧(1)对于不等式f

＇(x)+g＇(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).(2)对于不等式f

＇(x)-g＇(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).(3)对于不等式f

＇(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx或F(x)=f(x)-kx+b.运用构造法求解f(x)与f＇(x)共存的不等式问题数学探索类型2

f(x)±f

＇(x)型15.典例[2022湖南省湘潭市一模]已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f

‘(x),且f

’(x)>f(x),若实数a>0,则下列不等式恒成立的是（）A.af(lna)≥ea-1f(a-1)B.af(lna)≤ea-1f(a-1)C.ea-1f(lna)≥af(a-1)D.ea-1f(lna)≤af(a-1)D运用构造法求解f(x)与f＇(x)共存的不等式问题数学探索解析

令g(x)=f(x)ex,则g＇(x)=f

＇(x)-f(x)ex>0,∴g(x)为增