2021年高考理数：概率

精品精品Word可修改欢迎下载核心考点解读一一概率考纲解读里的I,II的含义如下：I:对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II:对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系,能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用•（以下同）随机事件的概率（I）古典概型（II）几何概型（I）离散型随机变量及其分布（II）离散型随机变量的均值与方差（II）条件概率及两个事件相互独立的概念（I）n次独立重复试验及二项分布（II）正态分布（I）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古典概型、几何概型、条件概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查离散型随机变量及其分布、期望与方差.2•从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，求条件概率，通过互斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，利用正态曲线的对称性求概率，确定离散型随机变量的分布状况，并利用其分布列求该随机变量的期望与方差，体现了概率问题的实际应用状况.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率•解答题中常与统计知识相结合考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用.1.随机事件的概率（1）概率与频率：理解概率与频率的关系.知道频率是指在n次重复试验下，某事件A出现的次数与试验次数的比值，其随着试验次数的改变而改变•概率是指对于给定的随机事件，随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某一个常数附近,这个常数称为事件A发生的概率•频率值随着试验次数的变化而变化，概率值则是一个常数，当试验次数越多时，频率值越接近于概率值，此时可以把频率近似地看做概率.

互斥事件与对立事件：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，即两个事件是对立事件，则它们肯定是互斥事件，反过来，当两个事件是互斥事件时,这两个事件不一定是对立事件.随机事件的概率的性质及其求解方法性质：0<p<1.若事件的概率为1,则该事件是必然事件；若事件的概率为0，则该事件是不可能事件；若事件的概率为0<p<1，则该事件是随机事件.随机事件概率的求法：⑴将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解概率；(ii)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即利用“正难则反”的思想.2•古典概型与几何概型古典概型：⑴试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(ii)每个基本事件出现的可能性相等.古典概型的概率计算公式：P古典概型的概率计算公式：P(A)=A包含的基本事件的个数

基本事件的总数几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.特点：⑴一次实验的基本事件数是无限的；(ii)几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.特点：⑴一次实验的基本事件数是无限的；(ii)每个基本事件发生的可能性是相等的.几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积).异同点：共同点是基本事件的发生是等可能的，不同点是古典概型有有限个基本事件，几何概型有无限个基本事件.3•离散型随机变量及其分布求离散型随机变量的分布列的一般步骤：首先明确随机变量的所有可能取值，其次利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率，最后按规范写出分布列,并用分布列的性质验证.xxxx12inPp1p2•••pi•••pn常见的离散型随机变量的概率分布模型：两点分布、超几何分布、二项分布离散型随机变量的均值与方差均值(或数学期望)：反映离散型随机变量取值的平均水平.计算方法：E点)=xp+xp++xp++xp.1122iinn性质：E(a^+b)=aE(g)+b.••・••・方差：刻画了随机变量g与其期望E忆)的平均偏离程度.计算方法：D(g)=才(x-E(g))2-p.iii=1性质：D(ag+b)=a2D(g)，D(g)=E(g2)一E2(g).若随机变量g服从二项分布，即gB(n,p).则事件A恰好发生k次的概率为P(g=k)=Ckpk(1-p)n-k，k=0,1,2,…,n.n其期望为E(g)=np；其方差为D(g)=np(1—p).若随机变量X服从正态分布，则表示为XN(卩Q2).正态分布的三个常用数据：P(p-o<X4+0)=0.6826；P(p-2o<X<p+2o)=0.9544；P(p-3o<X<p+3o)=0.9974.条件概率与相互独立事件的概率条件概率：设AB为两个事件，且P(A)>0，称P(BIA)=学等为在事件AP(A)发生的条件下，事件B发生的条件概率.事件的相互独立性：设A,B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.1(2021高考新课标I,理2)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是B.AB.1c.2D-2.（2021高考新课标I,理4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是2C.—D.33.（2021高考新课标I,理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试•已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为B.0.432AB.0.432C.0.36D.0.3124.（2021高考新课标UI,理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完•根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）•当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？5.（2021高考新课标I,理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N卩Q2）.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（卩-36卩+3d）之外的零件数，求P（X>1）及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x二兰x二9.97,s二1艺(x—X)2二；(艺x2-16x2)u0.212，其中x为抽取的第i个16iV16iV16iii=1i=1'i=1零件的尺寸，'=1,2,…，16•用样本平均数X作为卩的估计值K，用样本标准差s作为d的估计值k,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(卩-3&,a+3&)之外的数据，用剩下的数据估计卩和◎(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(PQ2)，则P(a—3d<Z<a+3c)=0.9974，0.997416u0.9592，<0.008沁0.09.6.(2021高考新课标I,理19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.求X的分布列；若要求P(X〜n)»0.5，确定n的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？7.(2021高考新课标II,理18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234>5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为A.—B.10A.—B.10C.-D.从装有大小、材质完全相同的•个红球和二个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为2£A.B.:-2£C.D.；△ABC中，⑺「-二,在线段&上任取一点「，则APAB的面积小于丨「的概率是1_£A.B.二23C.D.；2022年平昌冬季奥运会于2月9日〜2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8,宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为'，圆环半径为1,如图，则比值「的近似值为TOC\o"1-5"\h\z32n32nA.B.5nNnN8n5nnD.-nN32N自2021年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄

段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示:别舉A、、舟廿1A^5SOMO24D⑷D[35,50}40100UCIr&o.sa>20拠40«00400IODQ采用分层抽样的方式从年龄在>■■■-■■■■内的人中抽取W人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？在(1)中选出「人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为，求的分布列.B―)在区间I-'l内随机取出一个数:'，使得|■--’"的概率为3_2A.''B.；31C.D.袋中装着标有数字1，2,3,4,5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等.(1)求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率;(2)用E表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量E的概率分布列和数学期望.na2na2•由图形的对称性可aB【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为-，正方形的面积为a2，圆的面积为知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的1na2概率是-一—=，选B.a28秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率P满11足4<p<2，故选b.2.B3.A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C2O62x0.4+0.63=0.648,故选A.34.(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知

P（X=200）=2^16=0.2,P（X=300）=36=0.4,P（X=500）=25+7+4=0.4.TOC\o"1-5"\h\z909090因此x的分布列为X200300500P0.20.40.4TOC\o"1-5"\h\z(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200,因此只需考虑200WnW500.当300WnW500时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n；若最高气温位于区间〔20,25)，则=(I)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别x300+2(n一300)-4n=1200-2n(I)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别=6x200+2(n-200)-4n=800-2n；因此EY=2nx0.4+(1200-2n)x0.4+(800-2n)x0.2=640-0.4n.当200Wn<300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n；若最高气温低于20,则Y=6x200+2(n-200)-4n=800-2n.因此匕EY=2nx(0.4+0.4)+(800-2n)x0.2=160+1.2n.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.5.(1)抽取的一个零件的尺寸在(卩-36卩+3c)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(卩-36卩+3c)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416沁0.0408.x的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(卩-3c,卩+3c)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(卩-3c,卩+3c)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小•因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由X=9.97,s沁0.212，得卩的估计值为=9.97，c的估计值为c=0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(□-3c,卩+3c)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.1剔除(R-3c,口+3c)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为^(“乂9.97-9.22)=10.02，因此卩的估计值为10.02.兰x2=16x0.2122+16x9.972沁1591.134，剔除(门-3c,p+3c)之外的数据9.22，剩下数据的样本方ii=11差为舌(1591.134-9.222-15x10.022)沁0.008，因此c的估计值为J0.008沁0.09.

为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X=⑹=0.2x0.2=0.04；P(X=17)=2x0.2x0.4=0.16P(X=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；P(X=19)=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；P(X=21)=2x0.2x0.2=0.08P(X=22)=0.2x0.2=0.04.所以X的分布列为6178910212:220.040.160.240.240.080.04由⑴知P(X<18)=0.44,P(X<19)=0.68，故n的最小值为19.记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n=19时，EY=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08+(19x200+3x500)x0.04=4040.当n=20时，EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19.(I)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B)，故P(BIA)==015=—.P(A)P(A)0.55113因此所求概率为•11记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23【名师点睛】条件概率的求法：定义法：先求P(A)和P(AB),再由P(BIA)=PA#，求出P(BIA)；基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本

事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得P(BIA)=n(AB).n(A)求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X取每个值时的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出EX.'名校预测"-丿【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率p二60二1•故选b.606【答案】C【解析】记'个红球分别为「几，’个黑球分别为带乍，则随机取出两个小球共有「种可能：>i：!；■/：■：'?；■.:，其中两个小球同色共有"种可能：」；「匕wx，根据古典概型的^2概率计算公式可得所求概率为"•，故选C.1<3…真宀…2^cosA=12,■■CO5/1—.■'■引皿二-.【答案】C【解析】由■得4"2则S=AB-ACsinA=6j3，A△PAB的面积小于工庐的概率为匕'：；故选C.△ABC2【答案】C【解析】设奥运五环所占的面积为■，矩形的面积为■■■;!'■川，由在长方形内随机取了；个点,nn40fiTOC