小学奥数-容斥原理(教师版)

小学奥数-容斥原理(教师版)在森林里有许多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟类的数量。蝙蝠告诉仙鹤：“我有翅膀，所以我应该被归类为鸟类。”于是仙鹤将蝙蝠计入了鸟类的数量，结果得出森林中有80种鸟类。接着，狮子大王派大象去统计野兽的数量。蝙蝠又跑过去告诉大象：“我没有羽毛，所以我应该被归类为兽类。”于是大象将蝙蝠计入了兽类的数量，结果统计出森林中有60种兽类。最后，狮子大王问：“森林中共有多少种鸟类和兽类？”狡猾的狐狸听到了仙鹤和大象的统计结果，欣喜地回答：“很简单！森林中共有鸟类和兽类的数量为140种。”这个统计结果正确吗？显然不正确，因为蝙蝠被算了两次。这个故事说明了一个数学问题，即“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应该排除重复计数的部分。因此，我们得到了逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应该从它们的和中减去重复部分。容斥原理1：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类和B类的元素个数总和等于属于A类元素个数加上属于B类元素个数，再减去既是A类又是B类的元素个数。即A∪B=A+B-A∩B。容斥原理2：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类的元素个数总和等于A类元素个数加上B类元素个数加上C类元素个数，再减去既是A类又是B类的元素个数、既是A类又是C类的元素个数、既是B类又是C类的元素个数，最后再加上既是A类又是B类而且是C类的元素个数。即A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语文和数学都得满分。那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？根据题意，被计数的事物有语文和数学两类。其中，“数学得满分”是A类元素，“语文得满分”是B类元素，“语文和数学都得满分”是既是A类又是B类的元素，“至少有一门得满分的同学”是A类和B类元素个数的总和。因此，15+12-4=23，所以这个班至少有一门得满分的同学有23人。小试牛刀：电视台对100人进行了电视收视率的调查，其中62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。那么，两个频道都没看过的人有多少？根据容斥原理，100-(62+34-11)=15，所以两个频道都没看过的人有15个。在1至1000这1000个自然数中，有多少个数能被5或11整除？根据图示，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此，能被5或11整除的自然数的个数可以用以下公式求得：能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数－既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。能被5整除的自然数有多少个？共有200个。能被11整除的自然数有多少个？共有90个。既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？共有18个。因此，能被5或11整除的自然数的个数是：200+90－18=272个。现有60名同学面向老师站成一横排，老师让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。现在面向老师的学生还有多少名？在1到60中，4的倍数共有15个，6的倍数共有10个，既是4的倍数又是6的倍数的有5个。一次都不转的学生有60－（15+10－5）=40个，转两次的学生有5个，因此面向老师的学生还有40+5=45个。有一根长为240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。绳子一共被剪成了多少段？240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，共有240÷4－1=59个记号；每隔6厘米作一个记号，共有240÷6－1=39个记号。而两者每隔12厘米重复一个记号，共重复了240÷12－1=19个记号。因此，绳子上共有记号数为59+39－19=79个，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。【解析】1001=7×11×13，所以分母是1001的最简分数形式为$\frac{a}{1001}$，其中a与1001互质。根据互质的定义，a不能同时被7、11、13中的任意一个数整除。根据容斥原理，不能被7整除的数有$\frac{1000}{7}$个，不能被11整除的数有$\frac{1000}{11}$个，不能被13整除的数有$\frac{1000}{13}$个，不能被7和11整除的数有$\frac{1000}{77}$个，不能被7和13整除的数有$\frac{1000}{91}$个，不能被11和13整除的数有$\frac{1000}{143}$个，不能被7、11、13整除的数有$\frac{1000}{1001}$个。根据容斥原理，分母是1001的最简分数一共有：$1000-\frac{1000}{7}-\frac{1000}{11}-\frac{1000}{13}+\frac{1000}{77}+\frac{1000}{91}+\frac{1000}{143}-\frac{1000}{1001}=720$个。在一个阳光明媚的下午，四个人甲、乙、丙、丁一共给100盆花浇水。已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆。问恰好被三个人浇过的花最少有多少盆。为了让恰好被三个人浇过的花最少，就要让被四个人、两个人、一个人浇过的花数量尽量多。因此，被四个人浇过的花数量最多为30盆。接下来，乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇了60盆。这时共有70盆花，要让这70盆中恰好被三个人浇过的花最少，就要使用容斥原理，得出恰好被三个人浇过的花最少有15盆。在一个学校中，教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，21人两种语言都懂。这个学校共有多少名教师？将懂英语和懂日语的人数相加得到69人，但21人被重复计算了，所以应该从69中减去21，得到该学校共有48名教师。在一个边长为10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形，成为一个宽度为1厘米的方框。将5个这样的方框放在桌面上，问桌面被这些方框所覆盖的面积是多少平方厘米？每个方框占据了8平方厘米，但是它们之间有重叠，所以需要减去1平方厘米的重叠面积。总面积为(10-8)×5-1×8=172平方厘米。3.张宏、王刚、李立三人进行投篮练习，共投了100次，其中43次未命中。已知张宏和王刚共命中32次，王刚和李立共命中46次。求王刚命中了多少次？解析：三人共命中次数为100-43=57次。张宏和王刚、王刚和李立共命中次数为32+46=78次，这是三人共命中次数。再加上王刚个人的命中次数，从中减去三人共命中的次数，即为王刚个人的命中次数。列式为78-57=21次，因此王刚命中了21次。4.育新小学举行各年级学生画展，其中有18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的。现知五、六年级共展出22幅画。请问其他年级共展出多少幅画？解析：18幅不是六年级的画，换句话说，一至五年级共展出18幅。20幅不是五年级的画，换句话说，一、二、三、四、六年级共展出20幅。可以看出，一至四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅。又因为五、六年级共展出22幅画，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。从而可以求出一至四年级共展出16÷2=8张。5.五（4）班的32名同学中，有32人喜欢音乐，27人喜欢美术，11人既喜欢音乐又喜欢美术。请问，五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人？解析：通过画图可以看出，喜欢音乐或美术的学生总数为32+27-11=48人。6.某个班共有50名学生，其中28人参加文艺活动，30人参加体育活动，且每个学生至少参加一项活动（仅限文艺或体育）。请问，这个班有多少人既参加文艺活动又参加体育活动？解析：30+28=58人表示全班的总人数50人和公共部分重复统计了一次的总数量。58-50=8人，这8个人既参加文艺活动又参加体育活动。7.分母为385的最简真分数有多少个？解析：385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个。最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240个。8.一次数学小测验只有两道题，全班10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。求两道题都做错的人数。解析：用两个圆分别表示第一题全对和第二题全对的人数，两圆的交集表示两道题都做对的人数。用长方形表示参加考试的总人数，长方形内两个圆的外部表示两道题都做错的人数。因为第一题全对的人数为25人，两道题都做对的人数为10人，所以第一题对第二题错的人数为15人。又因为第二题错的人数为18人，比第一题对第二题错的人数多3人，所以两道题都做错的人数为3人。9.在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？解析：1到2004中是2的倍数的有1002个，3的倍数的有668个，5的倍数的有[2004/5]=400个，6的倍数的有334个，10的倍数的有[2004/10]=200个，15的倍数的有[2004/15]=133个，30的倍数的有[2004/30]=66个。因此，不是2、3、5的倍数的数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个。10.有50个女孩，她们的皮肤有白的或浅黑色的，眼睛则是蓝色的或褐色的。其中，14个女孩是蓝眼睛白肤色，31个女孩是浅黑肤色，18个女孩是褐色眼睛。求褐色眼睛浅黑肤色的女孩数量。解析：褐色眼睛女孩有18人，因此蓝色眼睛女孩有50-18=32人。又因为蓝眼睛白肤色女孩有14人，所以蓝眼睛浅黑肤色女孩有32-14=18人。又因为浅黑肤色女孩有31人，所以褐色眼睛浅黑肤色女孩有31-18=13人。11.一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形。求这个组合图形的面积。解析：将两个长方形摆放在一起，重叠部分恰好是一个边长为4厘米的正方形。如果用两个长方形的面积之和来计算整个图形的面积，会将重叠部分计算两次。因此，组合图形的面积等于长方形面积之和减去重叠部分的面积。即，组合图形的面积=12×8+10×6-4×4=140（平方厘米）。学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？解析：参加象棋组或乒乓球组的人数为83+86-25=144人，因此不参加这两个小组的人数为250-144=106人。五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。解析：设只有语文一门得优的人数为x，则有x+65人得优，x+78人得优，因此122=x+65+x+78-x，解得x=44。有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂