弹性力学课件一八

8TheoryofSpatialProblems8.1DifferentialEquationsofEquilibrium8.5GeometricalEquationsandPhysicalEquations8.8AxialSymmetryandSphericalSymmetry8.2StateofStressataPoint8.3PrincipalStressesMaximumandMinimumStresses8.1平衡微分方程工程实际中，除经常碰到一些平面问题外，还会碰到大量的空间问题，对空间问题，必须考虑三个方向的尺度分析空间问题，仍然要从三个方面考虑：a、静力学方面b、几何学方面c、物理学方面空间问题中未知量为：

x、y、z、xy、xz、

yz、x、y、z、

xy、xz、yz、u、v、wDifferentialEquationsofEquilibriumInanalyzingspatialproblems,itisnecessarytoconsidertheirEquilibriumgeometricalandaspects.先从静力学方面考虑，导出空间问题的平衡微分方程Nowweproceedtoconsidertheequilibriumaspectsofaspatialproblem.AtanypointPinthebodyconcerned,weisolateanelementintheformofaparallelepiped,withitsedgesparalleltothecoordinateaxesandhavinglengthsPA=dx，PB=dy，PC=dz各面上的应力分量如图所示，体积力为X、Y、Z从物体内任一点P，取微小的平行六面体，它的六个面垂直于坐标轴，棱边长分别为：PA=dx，PB=dy，PC=dzXYZxyzPABCPA=dx，PB=dy，PC=dz建立微单元的平衡微分方程：Formulatetheequilibriumequation由三个力矩平衡方程可得：空间问题的平衡微分方程为：Thedifferentialequationsofequilibriumforaspatialproblem8.5几何方程及物理方程一、几何方程（参照平面问题几何方程）：GeometricalEquationsandPhysicalEquationsGeometricalEquations(derivedinthesamemannerasthatoftheplaneproblem)位移列在边浑界上家满足铃位移陶边界僚条件溜：二、须体积戒应变伴（单剑位体漠积的牵改变腿量）摆：微小细正六插面体评，变认形前嘴的体趴积：dx那·d镰y·坑dz变形决后的路体积：扭（dx侦+

x·d乱x）材·（dy防+

y·d摧y）财·（dz何+

z·d忽z）体积迈应变续(Vo涉lu渔me绳s芒tr薄ai鸽n)为：Vo款lu听me蒜s因tr暴ai层n（煌th音e住ch越an胀ge宣o斯f碌vo建lu惧me颜p把er辅u顽ni晚t话of洞t域he煤o帆ri畅gi尾na萄l莲vo润lu呈me戏)略去喷高阶析微量芒，可灰取体律积应症变为榜：Si补nc卷e户th谨e炮st闷ra青in值c家om抗po斧ne即nt门s夏ar仅e渠sm创al支l混qu软an抚ti垃ti鸽es保,洪th灵ei射r扭sq伸ua躁re拾s霞an犁d瘦pr粪od麻uc甚ts凑m周ay捎b杀e搬ne权gl妈ec歪te联d晒an鞋d饿th骨e片ab而ov吨e麻eq论ua劈燕ti能on柔r佩ed材uc宽es他t忠o三、交物理响方程近：桐（各国向同筑性材谈料）Ph轧ys椒ic闻al飞E锋qu按at激io反ns三、画物理浊方程谱的另餐一种吐形式垒：体积话应变板与体静积应泪力成妖正比参：体积弹性模量体积应变：Volumestrain体积应力：Volumestress导出抹物理氏方程纤的另疮一种搬形式扩：将代入上述表达式得物理唯方程研的另乌一种浮形式逢为：空间严问题每中共距有1连5个浇未知狠量应力扩分量倒：

x、y、z、xy、xz、

yz应变拳分量妈：x、y、z、

xy、xz、yz位移韵分量捎：u、郑v、芳w归纳联：这1由5个俱未知磁量应树满足扛3个钓平衡脚微分走方程束；6涌个几汽何方福程；脱6个妹物理变方程岂；在旦边界啊上还用要满谦足边毯界条记件8.黑8轴对帅称问硬题的蒸基本帖方程一：划空间阿轴对佳称问阶题弹性体的形状、约束情况、以及所受的作用都对称于某一轴（过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移都关于该轴对称，这种问题称为轴对称问题zAx虾ia孩l赤Sy涂mm涌et逃ry成a杆nd障S脂ph盾er伍ic肃al皆S尾ym呆me罪tr紫y二、氧平衡痰微分然方程zr

P

在轴对称问题中，采用柱坐标r、、z更方便，如果弹性体关于z轴对称，则，所有的应力分量、应变分量和位移分量将只是r、z的函数，不随变化zxy从弹筑性体莫中取肌微小闪六面斗体PA圾BC咬DE渡FG召，如图语所示且

r=

r，z=z都不虽存在zyxoPBACDEFP’A’B’G’Gdr

dzdzr各面殿上的乞应力麦直接兽在该廊图上惜标出伙比较犁麻烦肿，所卫以我冻们取傻其中孟某个份面来另分析仔应力袋分量在铅看垂面你上：zrdrdzKrZ在水思平面株上：xyo

drdrrd（r+dr）d由于辰对称忆，

沿环破向无姐增量步，且钓无环损向体吸力综合隶上述私两个兴隔离素体受泉力图民，建待立平菠衡方炭程从上时述方秘程中往略去兔高阶峡微量摆，并值整理朵得：这就神是空搭间轴蜡对称蕉问题挠的平编衡微狂分方邻程自然满足，且三、尤空间劫轴对哨称问竿题的司几何悟方程应变花分量湿：

r、

、z、zr、z=r=0位移泉分量勾：ur、u

=0、w几何全方程术为：四、乓物理僻方程怨（柱膝坐标更是正怀交坐适标）物理首方程蚊的另奴一种边形式腰：引入间体积刻应力

和体悠积应鞠变e物理刚方程伐的另挥一种强形式猫为：空间偿轴对撤称问挣题的古基本少未知给量为以：应力慌分