弹性力学课件一六

第四章平面问题的极坐标解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—6圆环或圆筒受均布压力(P64)qa

qb

abHollowCylinderSubjectedtoUniformPressures例1.

图示圆环或圆筒，内半径为a，外半径为b，受均布内压qa和均布外压qb作用Ahollowcylinderwithinnerradiusaandouterradiusbissubjectedtointernalpressureqaandexternalpressureqb.由于结构轴对称，荷载轴对称，所以应力分量也是轴对称，直接利用公式Evidentlythestressdistributionmustbeaxisymmetrical.利用边界条件求待定常数A、B、C恒满足边界条件：qa

qb

考察环向位移(forcircumferentialdisplacement)：是多值项，对于同一r，当不同，该项有不同的值，而在此轴对称问题中，这是不可能的(P65)由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C，因此要考虑位移单值条件NowthetwoequationsarenotsufficienttodeterminethethreeconstantsA,B,Candwehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacement.Inthehollowcylinder,thisisphysicallyimpossible.根据位移单值条件，可知：B=0上述边界条件变为：最后求得：讨论奥只有迁内压回或只筛有外联压单骡独作装用的遵情况a、只有庆内压翁力的艺作用袖：qb=0Ifqb=0英(臣on停ly丧i掩nt慢er病na公l委pr话es己su梨reqa=0机a范ct闯s)长,结论赴：r总为薪压应浴力，灭

为拉值应力应力分布如图所示：

r

qa当圆环或圆筒的外半径b时，它就成为具有圆孔的无限大薄板，或具有孔道的无限大弹性体，应力分量为

ris畅a异lw读ay甜s霜co情mp肌re猎ss仪io耀n绒an晋d

is下a弹lw柳ay市s勒te撕ns围io盆n.Wh谱en散t戒he数o虎ut劳er卧r沸ad母iu折s潮b参is跳m场uc词h艘la衡rg堪e教th凳an疮t专he袋i诵nn乌er锤r海ad志iu龄s眼a,扮t遮he裕c船yl液in爷de手r特be谦co绍me道s棍a摘la粥rg摇e闷bo追dy估w芒it恨h养a井sm划al谅l摊ci磁rc队ul悦ar屡h临ol逝e丝式of恼r泼ad霸iu内s格a丢.应力嗽与a2/r2成正钞比，红当r遭a时，沉应力植分量额很小军，这扣也证家实了昨圣维宣南原衬理At留t张he敬e胡dg安e跳of污t短he芽h失ol尝e(喝r=猾a)脸,r=-qaan裁d

=-qa.At品a浅l部ar柱ge邮d示is童ta眉nc秃e棕fr绸om晌t卷he察h柔ol过e,堂t且he业s赌tr估es欲se路s贯ar奏e膝ne悉gl谢ig塞ib牲ly毫s桌ma岛ll图.b、只有外压力的作用：qa=0Ifqa=0(onlyexternalpressureqb=0acts),Bo镜th说

ran现d

ar扰e腊al母wa眉ys窄c挠om歇pr坊es去si极on锦.应力分布如图所示：

r

qbTh疮e探di馅st齿ri沙bu赏ti骂on消o翻f巧th帅e别no播rm赵al挨s贷tr敢es柴se僵s墨is桌a费pp齐ro世xi历ma捐te帽ly承s湿ho所wn镰i奏n归th野e购fi株gu秒re宜b站el捐ow钩,4—蛮9令圆孔魄的孔桐边、驶应力傍集中一、案应力严集中(st串re厅ss锄c化on此ce姜nt误ra热ti枪on扶)：具有犁小孔努的弹舱性体迹，受善力时铜孔边准的应失力远腥大于求无孔酷时的酬应力毕或距弦孔边辫稍远魂处的脊应力悟，这帝种现匹象称广为应采力集恰中现忘象二、奔应力盒集中尽的原搞因：不是搂由于遮截面泡减小弟而使娘应力泼增大免，而特是由悬于孔竞的存略在，陪孔附驶近的龙应力鼠状态功与应阿变状扰态完吵全改植变了Ef踩fe笋ct失o诞f煤ci贱rc木ul婶ar臭h涝ol躺es抄o刃n胁st奸re育ss径d视is摧tr坚ib掀ut劣io储n三、答应力喷集中语的特贱点：（1办）局蛾部现组象：旱离孔愧越远繁，应慌力集湿中现醉象消咳失越肯快（2补）应俱力集狸中程削度与陵孔的括形状改有关赞，圆锅孔较悬小；递尖角叹孔应宽力集船中程最度高（3喜）同池样形眨状的没孔，殿应力期集中更的倍材数与么孔的喝大小罩无关四、洒圆孔执的孔工边应虫力集担中问纪题圆孔霞的孔暴边应枪力可专以用总较简转单的晕数学方工具繁描述xyaqqqq例2臭.图示袄矩形舟薄板读离边执界较雁远处摊有半抱径为a的小踩圆孔崖，板访四边磨承受叨均布川拉力q坐标叨轴如微图所狐示，嗓因为渠我们锤要研帮究孔估边应向力，目所以读采用奋极坐核标a、矩形枪薄板仇四边途受拉Ef辨fe案ct姨o源f血ci坐rc牺ul或ar裹h朝ol小es蓬o语n斩st描re疾ss愿d圣is触tr乡丰ib格ut虽io干nxyaqqqq将直边变换成圆边，用长度ba为半径作一大圆，取此带孔的圆环为隔离体b由于皇应力案集中丹的局泽部性原，在姐大圆列周处盏，应竟力情夕况与打无孔哀时相酸同将直边的边界条件：变换成圆环边边界条件左右边：上下边：原来诵的问兰题就柳转换也成这苏样一夏个新灰问题影：内春半径伴为a，外半撑径为b的圆扣环，蔽在外添边界给受拉肺应力罢

r的作现用，舒如图q其解踢答可智用前赚面讨狼论过领的圆以环受离均布戏压力询时的新解答泛（拉束密解咳），伍即：因为ba，所以应力分量表达式变为xyaqqqq例3获.测图示援带小悦孔矩恶形薄韵板左箩右两压边承童受均暑布拉虹力q，上下致两边味承受贡均布缠压力b、矩形禽薄板龟左右存两边抱受均匪布拉宜，上限下两阻受均峡布压处理方法同上，用圆边（半径ba）带替直边，取图示圆环为隔离体变换成圆环边边界条件将直边的边界条件：左右边：上下边：原来忍的问内题就良转换塞成这求样一潜个新忽问题洪：内熊半径散为a，外半皂径为b的圆航环，爆在外垃边界闭受拉姻应力侄

r=q饺co筑s2丑

和剪慎应力遵

r=-沿qs风in司2的作地用孔边闸的边孙界条叮件为磨：用半嚼逆解四法：因为所以垂，可换假设急应力朗函数烛：将其态代入奥相容榆方程骗：解此微分方程得：应力分量：A、这B、丘C、假D为待故定常扣数，计由边抢界条塞件确里定将应力分量代入以下边界条件：由此睁求得A、士B、融C、俭D当A、B、C、D为：最后足求得行应力茎分量夸为：c、矩形四薄板顷左右麻两边猜受不塞相等膀的均火布拉者力xyaq1q1q2q2xya（q1-q2）/2（q1-q2）/2（q1-q2）/2（q1-q2）/2xya（q1+q2）/2（q1+q2）/2（q1+q2）/2（q1+q2）/2将两惕部分济解答北叠加觉，即债得q1、q2作用府下的衡应力葱分量例4、带圆孔的矩形薄板，受均布拉力，求应力分量xyaqqxyaq/2q/2q/2q/2xyaq/2q/2q/2q/2+其应位力分督量为机：讨论派：1、孔边应力：r=a，

r=0，r=0xyaqq

0

30

45

60

90

-q0q2q3q2、黑沿y轴应秀力：=它90

或=潮-9询0

xyaqq

r

a2a3a4a

3q1.22q1.07q1.04q求得：

3、愿沿x轴应玩力：=趁0

xyaqq求得：

-0.1924qa0-q

合力a

a

r应力分布图如下：xyaqq3q3qqq-q归纳续：（1墙）上追述