关于hermie展开和laguerre展开的系数乘子理论的研究进展

关于hermie展开和laguerre展开的系数乘子理论的研究进展

1关于hermie函数、laguerre函数和特殊hismie函数的分析在许多数学问题中，调用函数和rague函数发挥着重要作用。例如，调用函数是调幅振动子的函数函数，也是frr变换函数的函数函数。在对heisonburg群表示理论和调幅分析中，关于大多数问题的研究和解决方案，如调用函数、laguard函数和特殊调用函数的处理方法，可以见文献。Hermite函数系、Laguerre函数系及其多元形式是Euclid空间(一维或多维)中的正交函数系,也是Euclid空间上的调和分析中的重要工具和研究对象,在许多方面取得了丰富的成果,参见文献先给出几个一般记号.设(X,µ)是一个测度空间,{ϕ对0<q<∞,序列空间ℓ设,则称数列{λ如果对(X,µ)=(R一个相应于函数系{ϕ经典的Hardy-Littlewood定理和系数乘子理论强烈地依赖于解析函数的复变结构(参见文献[3,第12章]和[4,第6章]),这不适合于关于其他特征展开的问题.例如,文献本文的结构如下:第2节介绍关于Hermite展开和Laguerre展开的一些记号,特别是Hardy空间H2家禽和羽毛的外观2.1laguerre展开经典的Hermite多项式是标准化的Hermite函数是自然地,本文叙述和证明的大部分结论都是关于广义Hermite展开的.广义Hermite多项式和广义Hermite函数可以通过Laguerre多项式表示出来.设α>-1.Laguerre多项式系对应地,Laguerre函数对λ>-1/2,广义Hermite多项式它们构成了直线(-∞,+∞)上关于测度是直线(-∞,∞)上关于Lebesgue测度的标准正交函数系.下设特别地,当λ=0时,上式就是关于函数f的通常的Hermite展开.我们也会谈到关于Laguerre展开的一些结果.设2.2关于0#p>1因为HLipschitz空间Λ对任意δ>0,此处使用统一的记法Λ当0<p<1时,我们根据下面的引理给出Hardy空间H引理1(参见文献[7,第130页])设0<p<1,则L注1文献对0<p<1,Hardy空间H易知,对“好”函数来说,这个定义与(2.3)是相同的.然而,一般来讲,该定义并非对0<p<1时的所有Hardy空间H命题1设对于Laguerre展开,我们考虑正半实轴[0,∞)上的Hardy空间因为H如果α∈2N如果α∈[0,∞)\(2N对0<p<1,Hardy空间H对“好”函数来说,这个定义与(2.4)是相同的.与Hermite系数类似,一般来讲,该定义并非对0<p<1时的所有Hardy空间H命题2设α0,当α∈2N2.3多元起源设它们构成了Hilbert空间L给定f∈L对n∈N则f的Hermite展开(2.7)可以写成且有Plancherel公式2.4指数式广义哈希函数从文献其中是对应于直线上的反射群G=Z其中[b]表示不超过实数b的最大整数,下同.若记如果记则函数系上式说明,函数3关于hermie函数的估计关于Hardy空间HBalasubramanian和Radha其中ARadha和Thangavelu(I)设(II)设与高维其中A是不依赖于f的常数.然而遗憾的是,Radha和Thangavelu上述猜测在文献其中A(ϵ)是不依赖于f,但依赖于ϵ的常数.Kanjin这说明不等式(3.5)是深刻的.文献其中Skovgaard曾给出Hermite函数在不同变量范围中的描述,参见文献从(3.7)和(3.8)立即可以看出,H如果其中A是不依赖于n和x=(xLi等人关于广义Hermite函数的Poisson核是其中Ej对函数f∈L文献根据上面的估计,文献4关于软件性假设的改进对一般的标准正交函数系,有一个在L命题3设则对其中A文献根据命题3,从(4.1)立即可知,对进一步观察会发现,(4.2)中的指标我们自然期待,对1<p<2,上述不等式中的指标对p=1,我们将给出不等式(3.6)的一个改进.主要依据是下面的命题.命题4设ψ是(0,1]上的非负非减函数,且满足则存在不依赖于f的常数A我们的主要结论是下面的定理(参见文献定理1设ψ是(0,1]上的非负非减函数且满足条件(4.4),则存在不依赖于f的常数A特别取其中A当0<p<1时,关于Hardy空间H特别地,上述不等式当λ=0时对所有0<p<1成立.如在第3节中所指出,Radha和Thangavelu由于Hardy空间H当然,对“好”函数来讲,这个定义与(3.11)是相同的.然而与Hermite系数(2.5)类似,一般来讲,该定义并非对0<p<1时的所有Hardy空间H我们利用原子分解,得到Hardy空间H命题5设根据命题5,文献根据(4.9)可以给出不等式(4.3)的另一证明.5在硬件空间中，广义hgstle函数的展开以及多元hgstle函数的展开系数L5.1广义hermae展开的pa内部广义hermae我们针对p=1和0<p<1两种情形,有下面三种形式的系数乘子定理(参见文献定理2设则定理3设则定理4设则在上述三个定理的证明中,除了技术性困难外,分别要用到H引理2设引理3设(i)对任意λ>0,(ii)对λ∈2N其中Ψ定理2和4的一个有趣的应用是关于广义Hermite展开的Paley型不等式.推论1设首先注意到,如果{n如果取这是不等式(4.2)对应于p=1的形式,但远不及不等式(3.13)深刻.这个例子说明,定理3中的条件(5.2)、定理2中的条件(5.1)和定理4中条件(5.4)可以在很大程度上予以减弱,但用目前的方法很难实现,需要探索新的途径.另外,还有一些范围中的p和q,我们没有任何形式的乘子条件,例如,(i)p=1<q<2;(ii)1/λ5.2关于多元hermie展开的系数乘子我们在文献定理5如果数列则定理6如果多重指标数列{则{λ当d=1时,条件(5.6)与(5.7)是等价的,且与定理2中的条件(5.1)(取q=2)一致.利用定理5,我们可以得到一个多元Paley型不等式.推论2若{n当n=nj时,取与一元Hermite展开对比,关于多元Hermite展开的系数乘子有更多的待解决的问题.6laguerre展开的系数乘子定理本节介绍Hardy空间H其中A是不依赖于f的常数.Satake其中A针对0<p<1和p=1两种情形,我们在文献定理7设则定理8设则利用上面两个定理,我们可以得到关于Laguerre展开的Paley型不等式.推论3设当n=nj时,取有趣的是,有关Laguerre展开的这些结论与经典情形下的结论在形式