数学人教A版高中必修一（2019新编）4-3-1 对数的概念（学案）

4.3.1对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).1、直观想象2、数学运算【自主学习】一．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是.思考1：如何求解3x＝2?二.常用对数与自然对数1.常用对数：通常我们将以为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为.2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把logeN记作.三.对数的基本性质1.负数和零对数.2.loga1＝(a>0，且a≠1).3.logaa＝(a>0，且a≠1).思考2：为什么零和负数没有对数？四.对数恒等式1.aeq\s\up5(logaN)＝(a>0且a≠1，N>0).2.logaab＝(a>0，且a≠1)．思考3：如何推出对数恒等式aeq\s\up5(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)吗？解读：恒等式aeq\s\up5(logaN)＝N与logaab＝b的作用1.aeq\s\up5(logaN)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．2.logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logaN是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．()2.若log3x＝3，则x＝()A．1B．3C．9 D．27【经典例题】题型一指数式与对数式的互化点拨：指数式与对数式互化的思路1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.例1根据对数定义，将下列指数式写成对数式：①3x＝eq\f(1,27)；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；③log16eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)；④ln10＝x.【跟踪训练】1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)lna＝b；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n；(4)lg1000＝3.题型二利用指数式与对数式的互化求变量的值点拨:1.将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.2.利用幂的运算性质和指数的性质计算.例2利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x＝－eq\f(1,2)；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.【跟踪训练】2(1)求下列各式的值.①log981＝________.②log0.41＝________.③lne2＝________.(2)求下列各式中x的值.①log64x＝－eq\f(2,3)；②logx8＝6；③lg100＝x；④－lne2＝x.题型三对数基本性质的应用点拨：利用对数性质求值的方法1.性质:loga1＝0;logaa＝1(a>0，且a≠1).2.求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．3.对数恒等式aeq\s\up5(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)，logaab＝b(a>0，且a≠1).例3求下列式子值。(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln1＝________.(2)9＝________.【跟踪训练】3求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.【当堂达标】1．（多选）下列选项中错误的是()A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫做自然对数D.以e为底的对数叫做常用对数2.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是()A．与lg1＝0 B．＝与log27＝－C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝53.对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是()A．(－∞，5) B．(2,5)C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)4.方程lg(2x－3)＝1的解为________.5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)2－3＝eq\f(1,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(a)＝b；(3)lgeq\f(1,1000)＝－3.6.计算下列各式：(1)；(2).7.若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值．【课堂小结】1.对数概念的理解(1)规定a>0且a≠1.(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.【参考答案】【自主学习】一．a>0，且a≠1思考1：x＝log32.二．10lg_Neln_N三．没有01思考2：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．四．Nb思考3：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得aeq\s\up5(logaN)＝N.【小试牛刀】1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C解析：∵log3x＝2，∴x＝32＝9.【经典例题】例1解：①log3eq\f(1,27)＝x；②log64＝x；③16＝eq\f(1,2)；④ex＝10.【跟踪训练】1解(1)因为43＝64，所以log464＝3；(2)因为lna＝b，所以eb＝a；(3)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n，所以logeq\f(1,2)n＝m；(4)因为lg1000＝3，所以103＝1000.例2解(1)由log2x＝－eq\f(1,2)，得2－eq\f(1,2)＝x，∴x＝eq\f(\r(2),2).(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.【跟踪训练】2(1)①2②0③2解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.(2)解：①由log64x＝－eq\f(2,3)得；②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即；③由lg100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；④由－lne2＝x，得lne2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.例3(1)0解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.(2)4解析：9＝(9)＝3＝4.【跟踪训练】3解(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.【当堂达标】BCD解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故B错误．由定义可知CD均错误．只有A正确．2.ABD解析：对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD.3.D解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞0,a－2≠1,5－a＞0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＜a＜5,a≠3)).故选D.4.eq\f(13,2)解析由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq\f(13,2).5.解(1)由2－3＝eq\f(1,8)可得log2eq\f(1,8)＝－3；(2)由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(a)＝b得logeq\f(1