数学人教A版高中必修一（2019新编）5-4-2 正弦函数、余弦函数的性质（分层作业）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·江西省万载中学高一期中）已知函数f(x)，对于定义域R上任意x值都有f(x＋2)＝f(x)，且f(1)＝1，则f(89)＝（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据函数周期性进行求解【详解】∵，∴是周期为2的周期函数，∴.故选：B.2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）的单调增区间是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用整体法求三角函数的单调区间；【详解】由，令，解得，即，即，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】由的最小正周期为直接可得结论.【详解】因为，所以函数的最小正周期．故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C5．（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.【详解】因为，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以的最小正周期为.故选：A.6．（2022·陕西渭南·高一期末）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦型函数最小正周期求法可直接得到结果.【详解】根据解析式可知：最小正周期.故选：A.7．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或-1 D．【答案】B【分析】由函数为偶函数得到，求出的值，代入后用诱导公式即可得到结果.【详解】由函数得，，，其中，.故选：B.8．（2020·浙江·高一期末）函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.【详解】，，，，令可的的递增区间为.故选：C9．（2017·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】D【分析】将选项依次代入，根据正弦函数的性质分析即可.【详解】对A，，，故A错误；对B，，，故B错误；对C，，，故C错误；对D，，此时，故D正确，故选：D二、多选题10．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列函数是奇函数的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】通过奇函数的定义，以及定义域关于原点对称分析各个选项【详解】因为的定义域为，不符合奇函数定义，A错误；通过奇函数的定义，，且定义域关于原点对称，B正确；，所以，且定义域关于原点对称，C正确；，所以，D错误；故选：BC11．（2022·浙江·杭州四中高一期末）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】结合正弦函数、余弦函数在各个区间的单调性判断.【详解】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；因为，且函数在上单调递减，则，即，故选项B正确；因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确；故选：BD12．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）下列关于余弦函数说法正确的是（

）A．最小正周期是 B．定义域是R C．值域是 D．有最值【答案】ABD【分析】根据余弦函数的性质，一一判断各选项，即得答案.【详解】根据余弦函数的性质可知：余弦函数最小正周期是，A正确；余弦函数定义域是R，B正确；余弦函数值域是，C错误；余弦函数的最大值为1，最小值为-1，D正确，故选:ABD13．（2022·全国·高一课时练习）下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据正弦在单调递增可判断A,根据在单调递减可判断B,根据诱导公式以及正余弦的单调性可判断C,D.【详解】对A,因为，在单调递增，所以,故A正确；对B，因为，在单调递减，所以,故B错误；对于C,，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC三、填空题14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则当该函数取得最大值时的取值集合是______．【答案】【分析】先利用诱导公式化简函数，再根据余弦函数图像可得结果.【详解】，则当，即，时，有最大值3．故答案为：15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数和的图象均连续不断，若满足：，均有，则称区间为和的“区间”，则和在上的一个“区间”为_________．（写出符合题意的一个区间即可）【答案】【分析】结合正弦函数与余弦函数在区间上的正负性，得到答案.【详解】和的定义域都是，当时，，，满足“区间”的定义，故和在区间上的一个“区间”可以是．故答案为：16．（2022·辽宁·高一期末）的最小正周期为___________.【答案】【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.【详解】由题意可知，函数的最小正周期为.故答案为：.17．（2022·上海市晋元高级中学高一期末）函数的最小正周期为___________.【答案】【分析】利用余弦型函数求解周期的公式进行求解.【详解】因为，所以周期为;故答案为：.18．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数单调递增区间为________.【答案】【分析】令，求得的范围，即可求得的单调递增区间．【详解】令，解得，故的单调递增区间为．故答案为：．四、解答题19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，其中，，其图像经过点.(1)求的解析式；(2)作出函数在内的简图，并指出函数在内的单调递减区间.【答案】(1)；(2)图像见解析，递减区间为.【分析】（1）由图像所过的点有，结合参数范围及正弦函数性质求，即可得解析式；（2）应用五点法画出函数图像，结合图像确定递减区间.（1）∵函数的图像经过点，∴，，则，∴.（2）按五个关键点列表：x0-1131-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，由图像知：函数在内的单调递减区间为.20．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数（）的最小正周期为.(1)求的值；(2)求函数的单调递减区间.【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；（2）整体法求解函数单调递减区间.(1)由最小正周期公式得：，故，所以，所以(2)令，解得：，故函数的单调递减区间.是21．（2022·上海·高一专题练习）解不等式：．【答案】【分析】利用正弦函数的单调性与周期性即可得解.【详解】∵，，∴，∴不等式的解集为．22．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知函数．(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；(2)判断函数的奇偶性并证明；【答案】(1)函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是；(2)函数为奇函数，证明见解析.【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法可得函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.【详解】（1）因为，令，，即，时，函数取得最大值；令，，即，时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是；（2）函数为奇函数；因为函数定义域为R，且，故函数为奇函数.23．（2019·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知函数其中，.(1)求函数的值域；(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据正弦型函数的有界性，即可得到函数的值域；（2）根据相邻交点间的距离确定的值，进而利用整体代换法求单调区间即可.（1）由，得，可知函数的值域为，；（2）函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，即的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，所以的最小正周期为，又由，得，即得．于是有，再由，解得所以的单调增区间为24．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，.(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图像：(2)求函数的单调递增区间.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由题意，由“五点作图法”，列表描点作图，可得答案；（2）由题意，根据复合函数的单调性，结合正弦函数的单调性，可得答案.（1）由“五点法”，列表如下：描点，作图如下：（2）由的单调递增区间为，且，则，解得，函数的单调递增区间为.25．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数，.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【分析】（1）根据整体法解不等式即可求解，（2）由得，进而可得最值.（1）令，解得,所以的单调递增区间为（2）当时，则，故当时，取最大值，为，当时，取最小值，为，【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·高一专题练习）下列结论中，错用基本不等式做依据的是（

）A．a，b均为负数，则． B．．C．． D．．【答案】C【分析】根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”，可知选项ABD不符合要求，而选项C，只需要举反例（不满足“一正”）即可判断其符合要求．【详解】对于A，因为a，b均为负数，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A不符合要求；对于B，易知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故B不符合要求；对于C，当时，，显然是因为不满足“一正”导致的错误，故C符合要求；对于D，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不符合要求.故选：C．2．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．的一个周期是 B．的最小值为2C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称【答案】D【分析】根据给定的函数，用周期性定义判断A；取特值计算判断B；分析单调性判断C；证明对称性判断D作答.【详解】对于A，，即不是的周期，A错误；对于B，取，则，即的最小值不是2，B错误；对于C，当时，令，函数在上单调递减，而在上单调递增，因此在上单调递减，C错误；对于D，，即函数的图象关于直线对称，D正确．故选：D3．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数在R上满足，且时，对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，按、分别探讨函数的性质，借助图象关系及已知列出不等式，求解作答.【详解】令，当时，，若，则当时，，当时，，，函数的图象是由的图象向右平移个单位而得，显然的图象总在的图象的上方，即恒成立，因此，若，当时，，因为奇函数，函数在R上的图象，如图，把的图象向右平移个单位得的图象，要，恒成立，当且仅当射线经平移后在射线及下方，于是得，则，综上得，即，而，解得，所以实数的取值范围为.故选：D【点睛】关键点睛：由一个函数经左右平移得另一函数，两个函数式为不等式的两边的不等式恒成立问题，作出原函数图象，借助图象分析求解是解决问题的关键.二、多选题4．（2022·贵州六盘水·高一期末）关于函数，下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减【答案】BCD【分析】根据的范围，三角函数的奇偶性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误.B选项，，所以为奇函数，B选项正确.C选项，，所以的图象关于直线对称，C选项正确.D选项，，所以在区间上递增，令，，令，，其中，所以，所以在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确.故选：BCD5．（2022·湖北·襄阳五中高一阶段练习）已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.【详解】函数，,则①,又，则是函数的一个对称中心，故②,两式相减得：，在上单调递增，则,则，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；当时，，，故，此时在单调递增，符合题意；当时，，，不符合题意；当时，，，故，此时，因为，则，在单调递减，符合题意；当时，，，故，此时，，故在上不单调，不符合题意；故选：AC6．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图象的对称中心为D．函数在区间上有67个零点【答案】ABD【分析】先根据已知条件求得，然后根据三角函数值的最小正周期、函数值、对称中心、零点等知识求得正确答案.【详解】依题意，函数的图象的一条对称轴为，所以，由于，所以令，得.所以.所以的最小正周期为，A选项正确.，B选项正确.，即函数的图象的对称中心为，所以C选项错误.，，由于，所以，共个，即函数在区间上有67个零点，D选项正确.故选：ABD7．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是【答案】AC【分析】根据函数的解析式可得判断A，根据函数的定义域可判断B，根据二次函数的性质及三角函数的性质可得函数的值域判断C，利用数形结合可判断D.【详解】因为，所以，故A正确；由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；当时，，当时，，，所以函数的值域为，故C正确；由可得，则函数与有四个交点，作出函数与的大致图象，由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.故选：AC.8．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，下列结论正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐项判断作答.【详解】函数的定义域为，由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，则有，取得，B正确；由函数的图象关于直线对称，得，则有，函数的图象关于直线对称，因此，有，C正确；于是得，即，有，取得，D正确；函数的图象关于点对称，且关于直线对称，而，A不正确.故选：BCD三、填空题9．（2022·黑龙江·铁人中学高一阶段练习）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则______.【答案】【分析】根据函数为奇函数，且，可证得是周期为周期函数，再由题意求得，即可求得答案.【详解】是定义域为的奇函数，所以，又因为，，所以，，并且，所以，所以是周期函数，周期为，又，所以.故答案为：.10．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若，则x的取值范围是____________.【答案】【分析】利用同角三角函数间的基本关系得到，又因为，即可求出，即可求出x的取值范围.【详解】因为，即，当时，所以，因为，所以，所以，所以x的取值范围是：.故答案为：.四、解答题11．（2022·山东东营·高一期中）函数的最小值为，(1)当时，求；(2)若，求实数【答案】(1)(2)1【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.【详解】（1）当时，.所以，当时，取得最小值，即.（2），若，即时，则当时，有最小值，.若，即时，则当时，有最小值，.所以，若，得或由解得或（舍去），由解得（舍去）.所以12．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期．(1)求函数单调递增区间；(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求在上的值域．【详解】（1）因为函数的最小正周期，所以，由于，所以．所以，所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，令，解得，所以函数单调递增区间为．（2）因为函数在上有零点，所以函数的图像与直线在上有交点，因为，故函数在区间上的值域为所以当时，函数的图像与直线在上有交点，所以当时，函数在上有零点．13．（2022·江西省万载中学高一期中）已知函数，，(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】(1).(2)时，

；时，.(3)【分析】(1)根据复合函数单调性的求法，使即可；(2)根据余弦函使其交集不为空集(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.（1），解不等式得：，所以函数的单调递减区间为.（2），即时，

，，即时，；（3）时，，，时，，，要使得，只需，.14．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知定义域为，值域为，求实数的值.【答案】【分析】根据函数定义区间以及正弦函数性质求得函数的值域，再根据最值对应关系列方程组，解得的值.【详解】∵，∴，∴，又所以，所以，又函数的值域为，所以，解得，因此.15．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.(1)求的最小正周期；(2)有零点，求的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦