2019年教师公开招聘考试 (数学学科专业知识)所有基础公式系统复习

2019年教师公开招聘考试(数学学科专业知识)所有基础公式系统复习2019年教师公开招聘考试（数学学科专业知识）所有基础公式系统复习在数学中，集合是一定范围内确定且可以区别的事物，它们被视为一个整体，这个整体就被称为集合，简称集。集合中的每一个事物被称为集合的元素或简称元。元素与集合之间有“属于”与“不属于”两种关系。并集是以属于A或属于B的元素为元素的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。交集是以属于A且属于B的元素为元素的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。集合的运算有交换律、结合律、分配律和德.摩根律。其中，交换律是指A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；结合律是指(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；分配律是指A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；德.摩根律是指Cu(A∩B)=CuA∪CuB，Cu(A∪B)=CuA∩CuB。方程组是由几个方程组成的一组方程，解方程组是求方程组解的过程。二元一次方程是含有两个未知数，并且含有的未知数项的次数都是一的方程。二元一次方程组是把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，组成的方程组。二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法。三元一次方程是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是一的方程。三元一次方程组是含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一，并且一共有三个方程的方程组。三元一次方程组的解法也是代入消元法和加减消元法。简易逻辑是可以判断真假的语句，这种语句被称为命题。逻辑联结词“或”、“且”、“非”是用来连接命题的。不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。四种命题的形式是原命题、逆命题、逆否命题和否命题。：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么称f(x)在I上单调递增；如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么称f(x)在I上单调递减。如果在I上既有单调递增又有单调递减，那么称f(x)在I上不单调。2.奇偶性：设函数f(x)在定义域上有定义，如果对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数；如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称f(x)为奇函数。如果函数既不是奇函数也不是偶函数，那么称其为非奇非偶函数。3.周期性：设函数f(x)在定义域上有定义，如果存在常数T>0，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称f(x)为周期函数，T为函数的周期。4.连续性：设函数f(x)在点x0处有定义，如果对于任意的ε>0，都存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε，那么称f(x)在点x0处连续。如果f(x)在定义域上的每个点都连续，那么称f(x)在定义域上连续。5.极值：设函数f(x)在点x0处有定义，如果存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)<f(x0)或f(x)>f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)的极值。如果f(x0)是函数的最大值或最小值，那么称其为函数的极大值或极小值。定义：若函数f(x)的定义域为I，对于I内任意两个x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上为增函数；若对于I内任意两个x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间I上为减函数。奇偶性定义：若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，有f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。在关于原点对称的区间上，偶函数的单调性相反，奇函数的单调性一致。二次函数定义：二次函数是指最高次数为二次的多项式函数，可表示为f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0。其图像为一条主轴平行于y轴的抛物线。a的正负决定开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大。指数函数定义：指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1)，定义域为R，值域为(0,+∞)，过点(0,1)。当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1；在(-∞,+∞)上为增函数。另一种形式为y=a^(-x)(0<a<1)，定义域为R，值域为(0,+∞)，过点(0,1)。当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1；在(-∞,+∞)上为减函数。对数函数定义：对数函数为y=loga(x)(a>0且≠1)。当a>1时，定义域为(0,+∞)，值域为R，过点(1,0)，在(0,+∞)上为增函数；当0<a<1时，定义域为(0,+∞)，值域为R，过点(1,0)，在(0,+∞)上为减函数。性质为loga(MN)=loga(M)+loga(N)，loga(M/N)=loga(M)-loga(N)，loga(M^n)=nloga(M)。anab，limanab；nnbnbn（2）limanbnab，limanbnab；nbnnbn（3）limf(x)g(x)ab，limf(x)a；xxxxg(x)g(x)（4）lim[f(x)]n[limf(x)]n（n为正整数）。xxxx3.极限的夹逼准则若对于足够大的n，有anbncn（nN*），且limanlimcna，则limbna。4.单调有界数列必有极限如果数列an单调递增且有上界，则它必有极限；如果数列an单调递减且有下界，则它必有极限。5.函数极限的连续性若limf(x)a，limg(x)b，则xxxx（1）lim[f(x)g(x)]ab；xx（2）lim[f(x)g(x)]ab；xx（3）limf(x)ab（b0）；g(x)g(x)xx（4）limf[g(x)]f(limg(x))，前提是g(x)在x0处连续，f(x)在limg(x)处连续。xx0xx01.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，平面内的向量叫做平面向量，用有向线段表示。2.向量的加法：向量的加法满足交换律、结合律和分配律。3.向量的数乘：向量的数乘即将向量的大小与方向分开，只改变大小，不改变方向。4.向量的数量积：向量的数量积是一个标量，表示两个向量的大小及其夹角的余弦值的乘积。5.向量的夹角：向量的夹角是指两个向量之间的夹角，可以用数量积的公式求解。6.向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是指在另一个向量上的投影的长度，可以用数量积公式求解。7.向量的模长：向量的模长是指向量的大小，可以用勾股定理求解。8.向量的单位向量：向量的单位向量是指大小为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。9.平面向量的共线与垂直判定：若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量成比例，则它们共线。10.平面向量的线性运算：平面向量的线性运算包括向量的加法、数乘和数量积，满足一些基本性质。)，B(x2,y2,z2)，则|AB|√((x2x1)²+(y2y1)²+(z2z1)²)。向量是具有大小和方向的量，在平面或空间中有着广泛的应用。对于平面向量，我们可以进行加减法运算，实数与向量的积，以及求向量的模等运算。其中，向量的加减法运算可以通过对应坐标的加减得到，实数与向量的积则是将向量的坐标分别乘上实数。向量的模表示向量的长度，可以根据勾股定理求得。两点间的距离也可以表示为向量的模长，通过求出表示这两个点的向量的坐标差，然后应用勾股定理求得。在空间中，除了平面向量的运算外，我们还需要考虑向量的直角坐标运算律，共线向量定理和共面向量定理等概念。其中，共线向量定理表示两个向量共线的条件，共面向量定理则表示三个向量共面的条件。对于空间向量的模长和两个向量之间的夹角，我们也可以通过类似于平面向量的方法求得。最后，两点间的距离公式在空间中也有类似的应用，可以通过坐标差的平方和的平方根来求得。1.空间向量的加法。已知向量a,b，以它们的起点为起点，终点为终点作出平行四边形，则对角线AC即为向量a+b的终点，以A为起点，C为终点的向量即为向量a+b。记作a+b。即：a+b=（x1+x2,y1+y2,z1+z2）。2.空间向量的减法。已知向量a,b，以b为起点，a为终点作出向量c，则向量c即为向量a-b。记作a-b。即：a-b=（x1-x2,y1-y2,z1-z2）。3.空间向量的模和距离。设向量AB的起点为A（x1,y1,z1），终点为B（x2,y2,z2），则|AB|或dA,B=AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。4.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作<a,b>；且规定0≤<a,b>≤π，显然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=π/2，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b。（2）向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a·b|=|a|·|b|·cos<a,b>。（4）空间向量数量积的性质：①a·e=|a|cos<a,e>；②a⊥b⟺a·b=0；③|a|=a·a。（5）空间向量数量积运算律：①(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；②a·b=b·a（交换律）；③a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）。18.导数函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy=f(x+Δx)-f(x)。Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率，即Δy/Δx。如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，Δy/Δx并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。即：f(x)=lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。21.基本的位置关系在平面内，不同的两条直线如果在同一平面内，就称为异面直线。根据等角定理，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。公理4指出，平行于同一条直线的两条直线互相平行。在空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线所成的角是指已知两条异面直线a和b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，把a'与b'所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角或夹角。如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b。在空间中，直线和平面的位置关系只有三种：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行。直线与平面平行的判定定理是，如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。直线与平面平行的性质定理是，一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行。如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，这是直线和平面垂直判定定理。如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，这是直线和平面垂直性质定理。三垂线定理指的是，在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理是，如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行，没有公共点；两个平面相交，有一条公共直线。判定定理是，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质定理是，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。22.直线与平面所成的角与二面角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。如果一条直线垂直于平面，所成的角是直角。如果一条直线平行于平面或在平面内，所成角为钝角。直线和平面所成角的范围是[0,π]。斜线和平面所成角是指这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的所有角中最小的角。1.椭圆设椭圆的左、右焦点为E、F，离心率为e，则对于点P(x,y)，有以下公式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$$$$|PE|=a-ex,\quad|PF|=a+ex$$2.双曲线平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。（1）标准方程与几何性质：设双曲线的左、右焦点为F1、F2，离心率为e，则对于点P(x,y)，有以下公式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0,b>0)$$$$|PF_1|=|PF_2|=ae$$（2）焦半径：双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x，y)在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点。若点P在右半支上，则$|PF_1|=ex+a，|PF_2|=ex-a$；若点P在左半支上，则$|PF_1|=