排列组合、二项式定理知识点

排列组合、二项式定理知识点排列组合二项定理知识要点一、两个原理1.乘法原理、加法原理。乘法原理和加法原理是分类计数原理的基础。乘法原理指的是，如果一个事件可以分解为若干个独立的事件，那么这个事件的总数就等于各个独立事件的数量之积。加法原理指的是，如果一个事件可以分解为若干个不相交的子事件，那么这个事件的总数就等于各个子事件的数量之和。2.可以有重复元素的排列。从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数为m的n次方。例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：m的n次方种）二、排列1.对排列定义的理解。定义：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2.含有可重元素的排列问题。对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an，其中限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk，则S的排列个数等于n的阶乘除以n1的阶乘乘以n2的阶乘乘以……nk的阶乘。例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n=(1+2)!/(2!2!)=3。3.排列数公式从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示。排列数公式为Am=n(n-1)…(n-m+1)=n!/((n-m)!)，其中规定0!=1。三、组合1.对组合定义的理解定义：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，不考虑它们的排列顺序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2.组合数公式和组合数的两个性质从n个不同元素中取出m个元素的一个组合数，用符号C(n,m)表示，公式为C(n,m)=n!/((n-m)!m!)，其中规定0!=1。组合数有两个性质：对称性和加法原理。四、二项定理1.二项定理的定义二项定理指的是，对于任意实数a、b和非负整数n，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+b^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+…+C(n,n)a^0b^n。2.二项展开式的性质二项展开式的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的恒等式、二项式系数的递推公式等。这些性质在计算和证明中都有重要应用。三、组合组合是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组的方法，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数公式为C=n!/(m!(n-m)!),其中n和m分别表示元素的总数和选取的元素数。另外，有两个常用的组合数公式：①C(n,m)=C(n,n-m)；②C(m-1,m)+C(m,m)+C(m+1,m)=C(m+2,m)。排列与组合的联系与区别：都是从n个不同元素中取出m个元素，但排列有顺序关系，组合没有顺序关系。常用的组合数公式有：1.1+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)+C(n,n)=2^n2.C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n3.C(m,n)+C(m+1,n)+C(m+2,n)+...+C(m+n,n)=C(m+n+1,n+1)4.kC(k-1,n-1)=nC(k,n)5.(C(n,1))^2+(C(n,2))^2+...+(C(n,n))^2=C(2n,n)常用的证明组合等式方法有：1.裂项求和法2.导数法3.数学归纳法4.倒序求和法5.递推法6.构造二项式其中，递推法是常用的证明组合等式方法之一，例如：C(m-1,n)+C(m,n)=C(m,n+1)。证明：我们可以使用二项式定理展开(x+1)^n和(1+x)^n，然后将它们相乘，得到：(x+1)^n(1+x)^n=[(x+1)(1+x)]^n=(1+x^2)^n然后，我们可以将(1+x^2)^n展开为二项式的形式，得到：(1+x^2)^n=C(2n,0)+C(2n,1)x^2+C(2n,2)x^4+...+C(2n,2n)x^2n因此，我们可以看到，(1+x^2)^n的xn系数为C(2n,n)，而(x+1)^n(1+x)^n的xn系数为：C(n,0)C(n,n)+C(n,1)C(n,n-1)+...+C(n,n)C(n,0)这是一个二项式系数的和，根据Vandermonde恒等式，我们可以将它们相加，得到：C(2n,n)因此，我们证明了(x+1)^n(1+x)^n=(1+x^2)^n中xn的系数相等。二、排列、组合问题的解题方法和题型1.直接法和排除法是解决排列、组合问题的基本方法。直接法是直接根据问题的要求计算排列或组合的种数，而排除法则是通过排除不符合要求的排列或组合来计算符合要求的排列或组合的种数。2.捆绑法是一种特殊的解题方法，它适用于解决元素相邻问题。在捆绑法中，我们将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列。例如，当有n个不同元素排成一列，其中某m个元素必须相邻时，符合要求的排列的种数为An(n-m+1)×Am(m)，其中An(n-m+1)是整体排列的种数，而Am(m)是局部排列的种数。3.插空法是解决元素不相邻问题的一种方法。在插空法中，我们先将一般元素排列好，然后将待定元素插排在它们之间或两端的空档中。例如，当有n个元素全排列，其中m个元素互不相邻时，不同的排列的种数为An(n-m)×An-m+1(m)，这里我们使用插空法来解决问题。4.占位法是一种解题方法，它可以根据元素的特殊性或位置的特殊性来优先考虑某些元素或位置。例如，当问题中有特殊元素时，我们可以先将它们排列好，然后再排其他一般元素；当问题中有特殊位置时，我们可以先考虑它们，然后再排其他剩余位置。5.调序法是一种解题方法，它适用于当某些元素的次序已经确定时。在调序法中，我们先将n个元素进行全排列，然后将m个元素的全排列数除以它们的调序数，即Am(m)，就可以得到不同的排列的种数。例如，当有n个元素全排列，其中m个元素顺序不变时，不同的排列的种数为An(n)/Am(m)。平均法：假设有kn个不同元素，要将它们平均分成k组，每组n个元素，那么有以下公式：$$\frac{\binom{kn}{n,n,\ldots,n}}{k!}=\frac{(kn)!}{n!^k\cdotk!}$$例如，从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组，有几种分法？答案是3种。又例如，将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？答案是$\frac{\binom{198}{98}}{2!\cdot\binom{200}{100}}$。隔板法：隔板法常用于解决正整数解组数的问题。例如，对于方程$x_1+x_2+x_3+x_4=12$的正整数解的组数，可以建立组合模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块隔板，把球分成4个组。每一种方法所得球的数目依次为$x_1,x_2,x_3,x_4$。显然$x_1+x_2+x_3+x_4=12$，故$(x_1,x_2,x_3,x_4)$是方程的一组解。反之，方程的任何一组解$(y_1,y_2,y_3,y_4)$，对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方式，故方程的解和插板的方法一一对应。即方程的解的组数等于插隔板的方法数$\binom{11}{3}$。定位问题：从$n$个不同元素中每次取出$k$个不同元素作排列，规定某$r$个元素都包含在内，并且都排在某$r$个指定位置，则有以下公式：$$(n-r)A_{r,k}(n-r)!$$例如，从$n$个不同元素中，每次取出$m$个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？答案是$(n-1)A_{m-1,n-1}$或$A_{m,1}+A_{m-1,n-1}$。本文介绍了排列组合问题的解法和常见策略。其中，特殊元素优先安排策略是一种常见的解题方法，例如从n个不同元素中取特殊元素a的排列组合问题可以用插空法解决。另外，本文还介绍了组合问题中的分组问题和分配问题，包括均匀不编号分组、非均匀编号分组和均匀编号分组等。在解决排列组合问题时，可以采用合理分类与准确分步策略、正难则反等价转化策略、相邻问题插空处理策略等常见策略。1.分组问题有两种分组问题，一种是均匀分组，一种是非均匀分组。均匀分组是将n个元素分成m组，每组元素数目相同，且考虑各组间顺序，其分法种数为C(n,m)。非均匀分组是将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为Am2mk1=Cm1Cm2...Cmk-1(n-(m1+m2+...+mk-1))!/((n-m1)!(n-m2)!...(n-mk)!),其中m1,m2,...,mk为各组元素数目。2.二项式定理二项式定理是(a+b)^n的展开式，共有n+1项，每一项的次数是n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开。展开式中的第r+1项为Tr+1=C(n,r)ar^(n-r)br(0<=r<=n,r∈Z)。二项式系数有以下性质：与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；中间项的二项式系数最大，当n是偶数时，中间项是第(n/2)+1项，它的二项式系数C2n最大；当n是奇数时，中间项为两项，即第(n+1)/2项和第(n+1)/2项，它们的二项式系数C(n+1)/2最大。系数和为2^n。3.求含有特定项的系数对于(a+b+c)^n展开式中含有apbqcr的系数，其中p,q,r∈N，且p+q+r=n，可以将(a+b+c)^n视为二项式，先找出含有Cr的项C(n,r)(a+b)^r(c^(n-r))，再将(a+b)^r视为二项式，找出含有Cp的项C(r,p)a^pb^(r-p)，最后得到系数为C(n,r)C(r,p)c^(n-r)a^pb^(r-p)。在概率理论中，有一些公式可以帮助我们计算随机事件的概率。例如，对于一个二项式展开式(a+b)^n，我们可以使用组合数公式来计算其中包含特定项的系数。具体来说，如果我们想计算包含r个b的项的系数，我们可以使用C(n-r,r)来表示。同样地，如果我们想计算一个三项式展开式(a+b+c)^n中包含abc的项的系数，我们可以使用C(n,p,q,r)来表示，其中p、q、r分别表示a、b、c的指数。在实