特殊四边形：旋转变换

特殊四边形之旋转问题题型一：如图，已知正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90。，得△ABE，连接EE，则EE'的长等于 .已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图4所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 .已知ABCD是正方形ZMAN=45度，求证：BM+ND=MN如图，正方形ABCD中，E为DC上任意一点，ZBAE的平分线交BC于F.试判断AE、DE、BF之间存在怎样的一个数量关系，并说明理由.已知在四边形ABCD中，已知在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,AB=AD，求证:ZACD=ZACB例5如图，在四边形ABCD中，ZBAC=120°,BC=CD=DB.C求ZBAC的度数；C若AB=3,AD=2,求AC的长.如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,ZABC与ZADC互补.求ZC的度数.若BC>CD且AB=AD,请在图5上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；若CD=6,BC=8,S=49，求AB的值.四边形ABCD7.如图(6-1)，五边形ABCDE中，ZABC=乙AED=900,AB=CD=AE=BC+DE=1,求这个五边形ABCDE的面积？8.已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,D为斜边上任意一点,求证：BD+DC2=2AD2.9.如图：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3,求此正方形ABCD面积。已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.⑴将APAB绕点B顺时针旋转90°，到AP'CB的位置。设AB的长为aPB的长为b(b<a),求APAB旋转到AP'CB的过程中边PA所扫过的区域(图1中阴影部分)的面积；若PA=2,PB=4,ZAPB=135°，求PC的长。(1)如图2,若PA2+PC2二2PB2，请说明点P必在对角线AC上。图⑴ 圈(2)11.已知：正方形abcd中，ZMAN=45°,上MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M，N.当上MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN=MN.（1）当上MAN绕点A旋转到BM丰DN时（如图2）,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.（2）当上MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.图1 图2图1 图2题型二：1.如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积 .2•如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O’。2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30。到正方形AB'C'D',图中阴影部分的面积为（ ）_1 v3 <3A.2 B.3 C.1-3D.1-4如图，先将一矩形ABCD置于直角坐标系中,使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图①所示)，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图②所示)，若AB=4,BC=3,则图①和图②中，点B的坐标为 ，点C ，点C的坐标为 5•如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90。得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.求证：ZADP=ZEPB；求ZCBE的度数；(3)当AP的值等于多少时，△PFDs^BFP?并说明理由.AB6.已知：如图1,0为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,0D到点E,使OF=2OA,OE

=20D,连结EF,将厶FOE绕点0逆时针旋转a角得到△F'OE'(如图2).探究AE'与BF'的数量关系，并给予证明；当a=30。时，求证：AAOE，为直角三角形.7•如图1,奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.求证：EF=EG；如图2,移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B,EF其他条件不变，若AB=a,BC=b,求 的值.EG&已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.求证：EG=CG；将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

第24题图①第24题图②第24题图③第24题图①第24题图②第24题图③10.如图12,B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1） 观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2） 在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE丄BC于点E,PF丄CD于点F.（1） 求证：BP=DP；（2） 如图8-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；⑶试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论•AA图8-1 图8-2如图1,已知正方形ABCD是边cd的正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC。试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和GC,你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由。13..如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG丄CE.当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H,交AD于M.①求证：AG丄CH；②当AD=4,DGr：2时，求CH的长.图10HG图10HGqd'fM/I——C\Jc图11图12已知正方形ABEF和正方形ACGH在BAC的外侧，M是BC边的中点，试说明线段FH与线段AM的数量关系和位置关系.

在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度0，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，0），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，0叫做旋转角．（1）填空：如图1,将AABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60。，得到△ade，这个旋转相似变换记为A（ ， ）；如图2,△ABC是边长为lcm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（\；3,90。），得到△ADE，则线段BD的长为 cm；（2）如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA'点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与厶ABI，△CIB与ACAO一之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段OO与AOD之间的关系．板DEF的直角顶点E与厶ABI，△CIB与ACAO一之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段OO与AOD之间的关系．板DEF的直角顶点E图1,/一副直角三角板满OEBCl2OH三BC，a+e，zab「defo° "30。AC上，再将16.【操作】耳 … E旋转,A使边D0与边AB交于点P，C边EF【探究一】图E旋转过程中， 图2CE如图2,当石丁=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.EA于三角板ABC的斜边BC于点Qf G图3角板DEF绕点1；CE（2） 如图3,当土=2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.EACE（