倾斜角与斜率

第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率问题1:在直角坐标系下，确定一条直线的几何要素有哪些？我们思考：？过一点能不能确定一条直线?知识回顾:

我们学过:y=x+1,它表示什么？

如何在平面直角坐标系内确定它的位置?y1xo-1问题1:经过一点可以作出无数条直线?.yxo

确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度.问题：如何研究直线的方程y=kx+b.（k，b

是常数）Oxy131(1)当b=0时，y=kx,则 k=y/x=tanθθOxy131θ分类讨论的数学思想

1.直线的倾斜角xyolα

直线L与x轴相交时,取x轴为基准，x轴正向与直线L向上方向之间所成的角α建构概念：叫做直线L的倾斜角。注意：

(1)直线向上方向；

(2)x轴的正方向。下列四图中，表示直线的倾斜角的是()练习：

ABCDA

规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°0

≤

<180

直线倾斜角的范围x.pyOx.pyOx.pyOoo.pOyx为什么大桥的引桥要很长?为什么滑滑梯要很高才刺激?问题二：日常生活中，你能举出一些表示倾斜程度的量？坡度＝高度宽度结论：坡度越大，楼梯越陡．0.8m1m0.4m1m定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：2、直线的斜率倾斜角是90°的直线没有斜率。我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度升高量前进量A

B

C

练习:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：倾斜角（度）30150斜率-1我来考考你如何描述这二者的关系呢？当α∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;当α∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.60135想一想我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。问题3：如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？如图，当α为锐角时，

锐角

探究新知：由两点确定的直线的斜率能不能构造一个直角三角形去求？如图，当α为钝角时，

钝角

xyo(3)yox(4)

当的位置对调时，值又如何呢?

想一想?3、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点的直线斜率公式：公式的特点:(1)与两点的顺序无关;(2)公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=9001、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0

对公式的深入理解2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：斜率不存在,因为分母为0。对公式的深入理解poyxypoxpoyxpoyx0°＜＜90°=90°90°＜＜180°=0°k=0k>0k不存在k<0倾斜角与斜率的关系1.已知直线倾斜角求斜率：(1)

为锐角时，k>0;k

越大,直线倾斜度越大(2)

为钝角时，k<0；k

越大,直线倾斜度越大(3)=0°时，k=0；(4)=90°时，k不存在。2.

已知直线斜率求倾斜角：k>0时,

为锐角；k<0时，

为钝角；k=0时,=0；

k不存在,=90°

练习l1l2l3l2>l3>l1例.求经过点A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。即即直线的斜率为-1，倾斜角为1350解：练习：已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角与斜率。（1）A（a，c），B（b，c）

（2）C（a，b），D（a，c）（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）

k=1

由图可知解:YOX如图，直线l1的倾斜角α1=300，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.α1α2xy练习

l1l2l1l2例1如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。应用与实践OxyA(3，2)C（0，-1）B(-4，1),思考:过A点的直线L与线段BC有交点,求L的斜率k的变化范围已知直线P1(1,2),P2(x,3),P3(-3,-1)在一条直线上，求x的值解:练习例题分析N(-8,3)M(2,2)Oxy22-2P从点M（2,2）射出一条光线，经过x轴反射后经过点N（-8,3），入射点为P，求反射光线所在直线的斜率。解:求出点M关于x轴的对称点Q(2,-2)则直线NQ为反射光线所在直线,2128)2(3-=----=kQ(2,-2)巩固与测试-1

①因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。

（）

②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在