三重积分的概念与计算课件

作业115页3,4,6,12,13作业1第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念与计算

第九章第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念2一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用

引例:

设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例3定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任4三重积分的性质1.线性性质、单调性、积分估值公式2.区域可加性4.微元法5.对称奇偶性*6.中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为的体积,三重积分的性质1.线性性质、单调性、积分估值公式2.5二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次积分法二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.6方法1.

投影法(“先一后二”)记作方法1.投影法(“先一后二”)记作7投影法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:适用范围:由平面围成的情况投影法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次8三重积分的概念与计算ppt课件9其中

为三个坐标例.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面其中为三个坐标例.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及10.计算,其中由锥面及平面围成.解：例2..计算11化为三次积分，由曲面及平面围成.解：如图所以曲面与xOy坐标面交于x轴和y轴.例1.化12方法2.截面法(“先二后一”)方法2.截面法(“先二后一”)13特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况14其中

为三个坐标例3.

计算三重积分所围成的闭区域.面及平面为面上轴，解:如图，：轴和围成的等腰直角三角形.所以注：此题可用投影法求解．其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.面15计算三重积分其中是上半椭球体解：则而原式例4.计算三重积分其中是上半椭球体解：则而原式例4.16例.

计算三重积分解:

用“先二后一”例.计算三重积分解:用“先二后一”17补充：三重积分对称性：补充：三重积分对称性：18补充：三重积分对称性：2、奇偶对称性：补充：三重积分对称性：2、奇偶对称性：19解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,球面关于xoy面对称解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,球面关20解解21三重积分的概念与计算ppt课件22三重积分的概念与计算ppt课件231.

将用三次积分表示,其中

由所提示:思考与练习六个平面围成,1.将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面243.设计算提示:利用对称性原式=奇函数3.设计算提示:利用对称性原式=奇函数25tobecontinuetobecontinue26作业115页3,4,6,12,13作业27换元法三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:体积元素一一对应雅可比行列式换元法三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:体积元素一一对28利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面29圆柱面圆柱面30平面半平面平面半平面31三重积分的概念与计算ppt课件32圆柱面半平面平面圆柱面半平面平面33在柱面坐标下在柱面坐标下34若从小到大边界到边界则有在投影区域上做极坐标变换若从小到大则有在投影区域上做极坐标变换35例.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=例.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中364.计算其中解:利用对称性4.计算其中解:利用对称性37利用球坐标计算三重积分

就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面38球面半平面锥面球面半平面锥面39在球面坐标系中从小到大，从边界到边界。体积元素为化为三次积分，在球面坐标系中从小到大，从边界到边界。体积元素为化为三次积分40求的体积，解：球面方程为在球坐标系下方程为所以例6.求的体积，解：球面方程为在球坐标系下方程为所以例41内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系42xzOy图2-3222计算，其中为双曲面，锥面及柱面围成．思考与练习xzOy图2-322，其中为双曲面，锥面及柱面围成．思考433.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标3.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球44,其中由锥面平面围成.解法：用投影法.计算,其中由锥面平面围成.解法：用投影法.计算45例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中

与球面例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.