江西省南昌市东湖区南昌十中2022-2023学年高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：1=12+13+16，A．228 B．240 C．260 D．2732．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.754．已知函数，则等于（）A．-1 B．0 C．1 D．5．函数在上的平均变化率是()A．2 B． C． D．6．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.7．用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是（）A．且 B．a，b不全为0C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为08．若复数满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．9．已知函数，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，设，若对任意的正整数，在区间内存在个数，，…，使得不等式成立，则的最大值为()A．4 B．5 C．6 D．710．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度11．函数f(x)＝ex－3x－1(e为自然对数的底数)的图象大致是()A．B．C．D．12．已知满足约束条件，若的最大值为（）A．6 B． C．5 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则的展开式中常数项为____14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________15．“直线与平面内无数条直线垂直”是“”的______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16．若复数满足(1+i)z=1+i3，则z的模等于三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.18．（12分）设,函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求函数单调区间(3)若有两个零点,求证:.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，点在轴上，过点的直线交椭圆交于，两点．①若直线的斜率为，且，求点的坐标；②设直线，，的斜率分别为，，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的直角三角形，，，，．（1）若线段上有一个点，使得平面，请确定点的位置，并说明理由；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知数列各项均为正数，，，.（1）若，①求的值；②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，证明：当时，.22．（10分）已知抛物线：的焦点为，过作互相垂直的直线,分别与交于点、和、.（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

使用裂项法及m，n的范围求出m，n的值，从而求出答案．【详解】∵1=1∴1=1∴1∵m⩽n，m，n∈N∴m=13，n=20，所以mn=260.故选：C【点睛】本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2、C【解析】

函数关于轴对称的解析式为，则它与在有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到.【详解】函数关于轴对称的解析式为，函数，两个函数的图象如图所示：若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，所以，故选C.【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.3、D【解析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.∴目标是被甲击中的概率是故选D.4、B【解析】

先求，再求.【详解】由已知，得：所以故选：B【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题.5、C【解析】

根据平均变化率的计算公式列式，计算出所求的结果.【详解】依题意，所求平均变化率为，故选C.【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.6、D【解析】试题分析：由可得：，所以函数的周期，又因为是定义在R上的奇函数，所以，又在上单调递增，所以当时，，因此，，所以。考点：函数的性质。7、B【解析】

根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B.【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.8、A【解析】

由，得，则，故选A.9、B【解析】设，因，故，由题意过点可得；同理可得，因此是方程的两个根，则，故．由于在上单调递增，且，所以，因此问题转化为对一切正整数恒成立．又，故，则，由于是正整数，所以，即的最大值为，应选答案B．10、D【解析】因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.11、D【解析】由题意，知f(0)＝0，且f′(x)＝ex－3，当x∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当x∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D符合题意，故选D.12、A【解析】分析：首先绘制不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解最值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择A选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-32【解析】n＝，二项式的展开式的通项为，令＝0，则r＝3，展开式中常数项为(－2)3＝－8×4＝－32.故答案为-32.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14、【解析】

因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为15、必要不充分.【解析】

根据平面内与斜线在平面内的射影垂直的直线必定与垂直，可知充分性不成立；根据线面垂直的定义，可得必要性成立．由此得到正确答案【详解】解：（1）充分性：当直线与平面斜交，且在平面内的射影为，若内的直线与垂直时与垂直，并且满足条件的直线有无数条．这样平面内有无数条直线垂直，但与不垂直，因此充分性不成立；（2）必要性：当“”成立时，内的任意一条直线都与垂直，因此“直线与平面内无数条直线垂直”成立，所以必要性成立.故答案为:必要不充分.【点睛】本题考查了判断两命题间的充分、必要条件，考查了直线与平面的位置关系.对于两个命题，，判断他们的关系时，常常分为两步，以为条件，判断是否成立；以为条件，判断是否成立.16、1【解析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，由此能求出|z|．【详解】∵复数满足(1+i)z=1+i∴z=1+∴|z|=1．故答案为1．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先根据方程组有解得关系，再确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得关系，进而确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）因为方程组有解，所以而有这三种情况，所以所求概率为；（2）因为且，所以因此即有种情况，所以所求概率为；【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.18、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】

分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令，可得函数的增区间，，可得函数的减区间；（3）原不等式等价于令,则,于是，，利用导数可证明，从而可得结果.详解：在区间上,.（1）当时，则切线方程为，即（2）若,则,是区间上的增函数,若,令得:.在区间上,,函数是增函数;在区间上,,函数是减函数;(3)设,原不等式令,则,于是.设函数,求导得:故函数是上的增函数,即不等式成立,故所证不等式成立.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19、（1）（2）①②存在，；【解析】

（1）根据椭圆离心率及过点，建立方程组，求解即可（2）①设直线的方程为：,联立椭圆方程，利用弦长公式即可求出m,得到点的坐标②直线分斜率为0与不为0两种情况讨论，斜率为0时易得存在，斜率不为0时，联立直线与椭圆方程，利用恒成立，可化简知存在定点.【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，且过点．∴，，∴椭圆的方程为：．（2）设，，①设直线的方程为：．．．，．，解得.∴．②当直线的斜率为0时，，，.由可得，解得，即.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为．由.，．由可得，，..，∴当时，上式恒成立，存在定点，使得恒成立．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题.20、（1）当P为AD的中点时，平面PBE（2）【解析】

要证线面平行，需证明线线平行，所以取中点，连接，即证明；（2）过B作于H，连结HE，证明两两垂直，以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式求解.【详解】解：（1）当P为AD的中点时，，又因为平面PBE，平面PBE，所以平面PBE．（2）过B作于H，连结HE，在等腰梯形ABCD中易知．在中，，，，可得．又因为，平面平面ADE，且平面平面，所以平面ADE，所以．如图，以H为原点，HE，HD，HB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，，，.所以，.．设平面ABE的一个法向量，则，即，取，得.设直线CD与平面ABE所成角为，所以.【点睛】本题重点考查了线面角的求法，坐标法的一个难点是需建立空间直角坐标系，这个过程往往需要证明，证明后再建立空间直角坐标系，利用公式求解.21、(1)①；；②(2)见证明【解析】

（1）①根据递推公式，代入求值即可；②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；（2）应用数学归纳法证明.【详解】(1)当时，即当时，当时，