数学人教A版高中必修一（2019新编）5-5-1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（分层作业）

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·江西省丰城中学高一期中）若，则（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.【详解】由已知，所以，故选：C.2．（2022·江西九江·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.【详解】因为，所以（1），因为，所以（2），（1）+（2）得，∴.故选：A．3．（2022·山东临沂·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】；；原式.故选：C4．（2022·贵州六盘水·高一期末）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.【详解】，由于，所以，所以.故选：D5．（2022·浙江·高一期中）若，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.【详解】.故选：D.6．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.【详解】，，，，故选：D.7．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）在中，，则此三角形的形状（

）A．是等腰三角形，但不一定是等边三角形 B．是等边三角形C．是不等腰的直角三角形 D．是边长互不相等的三角形【答案】A【分析】由，结合三角函数和差公式可得，结合角的范围即可得，即可得结果【详解】，由，故，由，，故，则此三角形的形状是等腰三角形，但不一定是等边三角形.故选：A8．（2022·甘肃兰州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解.【详解】.故选：C.二、填空题9．（2022·浙江·杭州四中高一期末）求值________.【答案】##【分析】由题意，根据正弦函数的和角公式，可得答案.【详解】.故答案为：.10．（2022·江西九江·高一期末）化简：__________．【答案】1【分析】使用二倍角公式及同角三角函数平方关系化简求值.【详解】因为，，，所以．故答案为：111．（2022·全国·高一课时练习）计算：______________．【答案】【分析】由正切和差角公式即可得到答案.【详解】原式．故答案为:.12．（2022·全国·高一课时练习）复习两角和的正弦、余弦、正切公式：___________；___________；__________，注意：．【答案】

【分析】利用两角和的公式进行填空.【详解】，，.故答案为：；，.13．（2022·全国·高一课时练习）二倍角公式的推导：在公式中，当时，得到相应的一组公式：__________；_________；________，注意：．因为，所以公式可以变形为__________或_______．公式统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式．【答案】

##

##

##

##【分析】略【详解】略14．（2022·全国·高一单元测试）化简：_____．【答案】1【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以.故答案为：15．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数的图像相邻的两条对称轴之间的距离是______；【答案】【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，求出其最小正周期，最小正周期的一半即为两相邻对称轴间的距离．【详解】由已知，它的周期是，相邻两条对称轴间距离为．（也可求出对称轴方程后求解）．故答案为：．16．（2022·天津南开·高一期末）的值是_____.【答案】##【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.【详解】.故答案为：.三、解答题17．（2022·广东·饶平县第二中学高一开学考试）已知函数，.(1)求的最小正周期；(2)求的单调递增区间；(3)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，(3)最大值为，最小值为【分析】（1）应用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得最小正周期；（2）由正弦函数的单调性得增区间；（3）由已知求出的范围，结合正弦函数性质得结论．【详解】（1）

所以的最小正周期（2）由，，得，．故函数的单调递增区间为，．（3）当时，∴∴故在区间上的最大值为，最小值为.18．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）求值：【答案】1【分析】利用诱导公式进行化简，在逆用正弦和角公式求出答案.【详解】.19．（2022·甘肃兰州·高一期末）证明：．【答案】证明见解析【分析】利用余弦的二倍角公式和同角三角函数基本公式整理即可.【详解】证明：，，．20．（2022·全国·高一课时练习）在中，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【答案】时取得最大值，最大值为【分析】根据三角形内角和及诱导公式得到，再利用二倍角公式及二次函数的性质计算可得.【详解】解：在中，由，得，所以，于是．所以当，即时，取得最大值，且最大值为．21．（2022·全国·高一单元测试）若，求的值．【答案】1【分析】通过平方的方法化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.【详解】，，两式相加得，所以，从而．22．（2022·全国·高一课时练习）在中，已知，，求的值．【答案】【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，再根据及两角和的余弦公式计算可得.【详解】解：由，知或．又，所以，从而．若，则，所以，即，所以．【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案.【详解】由，得，则.故选：D.2．（2022·全国·高一单元测试）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值.【详解】．故选：A.3．（2022·全国·高一单元测试）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.二、多选题4．（2022·全国·高一单元测试）下列选项中正确的有（

）A．若是第二象限角，则B．C．D．【答案】ABCD【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B，可利用及同角三角函数基本关系化简；对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D，可利用二倍角的正切公式化简.【详解】对于A，因为是第二象限角，所以，从而，所以A正确；对于B，，所以B正确；对于C，，所以C正确；对于D，，所以D正确.故选：ABCD.5．（2022·全国·高一单元测试）下列各式计算正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据二倍角公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A选项,,故A选项错误;对于B选项,,故B选项正确;对于C选项,,故C选项正确;对于D选项，，故D选项错误；故选：BC【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.本题C选项的求解的关键在于注意到，进而换元，结合正切的和角公式计算.三、填空题6．（2022·全国·高一单元测试）已知，则______．【答案】或##或【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值.【详解】因为，所以，所以或，当时，，；当时，，.故答案为：或.四、解答题7．（2022·全国·高一单元测试）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答.（1）因，则.（2）因，则，又，所以．8．（2022·全国·高一单元测试）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．(1)求的最小正周期及的值；(2)若，求A的值．【答案】(1)2；；(2).【分析】（1）利用的解析式求出周期，再由给定的最高点P求出作答.（2）由（1）求出点M，N的坐标，结合图形求出和的正切，再利用和角公式计算作答.（1）函数的最小正周期，因是函数图象的最高点，则，而，有，，所以函数的最小正周期为2，.（2）由（1）知，，由得，即点，由得，即点，于是得，，而，则，又，解得，所以.9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在一个周期内的图象如图所示.(1)求的解析式及图象对称中心的坐标；(2)设，且，求.【答案】(1)，图象对称中心的坐标为；(2).【分析】(1)根据给定条件借助“五点法”作图思想分析、计算作答.(2)利用(1)的结论求出的值，再利用角的变换结合差角的余弦公式计算得解.【详解】（1）由图可知：，解得，周期，而，即，则，而，即，又函数在的邻近区域递增，于是得，所以，由，解得，所以函数图象对称中心的坐标为.（2）由(1)及得：，因，则，于是得，因此，，，所以.10．（2022·全国·高一单元测试）已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]