2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版） 分式方程应用（四大类型）（解析版）

分式方程应用（四大类型）类型一：行程问题类型二：工程问题类型三：销售问题类型四：方案问题【类型一：行程问题】【典例1】（2020秋•安丘市期末）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．【解答】解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的解，答：小芳的速度是50米/分钟．【变式1-1】（2012•山西模拟）列方程或方程组解应用题：为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．【解答】列方程或方程组解应用题：解：设肖老师骑自行车每小时走x千米．根据题意得：，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解，并符合实际意义，答：肖老师骑自行车每小时走15千米．【变式1-2】（2020秋•白云区期末）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度．【解答】解：设前一小时的行驶速度为xkm/h，根据题意可得：+1＝﹣，解得：x＝60，检验得：x＝60是原方程的根，答：前一小时的行驶速度为60km/h．【变式1-3】（2021•扬州模拟）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．【解答】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，依题意，得：﹣＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴（1+50%）x＝75．答：走路线B的平均速度为75km/h．【类型二：工程问题】【典例2】（2022春•瑶海区期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若甲、乙两工程队合做20天可完成；若让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费10000元，乙工程队施工每天需付施工费26000元，此项工程若由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，则甲工程队至少要独做多少天，才能使施工费不超过680000元？【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，由题意得：×15+＝1，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∵﹣＝﹣＝，∴乙工程队单独完成此项工程需要30天，答：甲队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天；（2）设甲工程队要独做a天，乙工程队做了b天，由题意得：+＝1，整理得：a+3b＝60，∴b＝20﹣a，∵施工费不超过680000元，∴10000（a+b）+26000b≤680000，∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程队至少要独做20天．【变式2-1】（2022•桂林模拟）为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天．（1）求乙队每天能完成多少米？（2）若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？【解答】解：（1）设乙队每天能完成x米．则甲工程队每天完成1.2x米，由题意可得：，解得：x＝90，经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意．答：乙队每天能完成90米；（2）设乙工程队还需y天．由题意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，解得：y＝16，答：乙工程队还需16天．【变式2-2】（2022•玉州区一模）为美化小区环境，物业计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作．已知甲工程队每天绿化面积是乙工程队每天绿化面积的2倍，甲工程队单独完成600m2的绿化面积比乙工程队单独完成600m2的绿化面积少用2天．（1）求甲、乙两工程队每天绿化的面积分别是多少m2；（2）小区需要绿化的面积为9600m2，物业需付给甲工程队每天绿化费为0.3万元，付给乙工程队每天绿化费为0.2万元，若要使这次的绿化总费用不超过12万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得，解得：x＝150，经检验：x＝150是原方程的解，则2x＝300．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是300m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是150m2，（2）设甲队工作y天完成：300y（m2），乙队完成工作所需要（天），根据题意得：0.3y+0.2×≤12，解得：y≥8．所以y最小值是8．答：至少应安排甲队工作8天．【类型三：销售问题】【典例3】（2022春•大观区校级期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？【解答】解：（1）设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为（x+2）元，依题意得：＝，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝8+2＝10．答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元．（2）设购进m个乙商品，则购进（3m﹣5）个甲商品，依题意得：3m﹣5+m≤95，解得：m≤25．答：商场最多购进乙商品25个．【变式3-1】（2022春•普宁市期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次性购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，一共有多少种合理的购买方案？【解答】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：＝，解得：x＝1600经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，则x+400＝1600+400＝2000，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱m台（m为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，则y＝（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）＝﹣50m+15000，根据题意得：，解得：33≤m≤40，∵m为正整数，∴m＝34，35，36，37，38，39，40，∴一共有7种合理的购买方案．【变式3-2】（2022春•市南区期末）某中学举办了以“童心绘未来”为主题绘画比赛．学校计划购买A、B两种学习用品奖励获奖同学，已知购买一个A种学习用品比购买一个B种学习用品多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半．（1）求A、B两种学习用品每件多少元？（2）商店给该校购买一个A种学习用品赠送一个B种学习用品的优惠，如果该校需要B种学习用品的个数是A种学习用品个数的2倍还多8个，且该校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A种学习用品？【解答】解：（1）设购买一个B种学习用品需要x元，则购买一个A种学习用品需要（x+20）元．根据题意得：＝×，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，则x+20＝25．答：购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元；（2）设该校购买A种学习用品个数为a个，则购买B种学习用品的个数是（2a+8﹣a）个．由题意得：25a+5（2a+8﹣a）≤670，解得：a≤21，答：该校最多可购买21个A种学习用品．【类型四：方案问题】【典例4】（2021春•花都区校级月考）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得﹣＝10解得：x＝20则1.5x＝30，经检验得出：x＝20是原方程的根，答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得解得：20≤a≤25，所以a＝20、21、22、23、24、25，则40﹣a＝20、19、18、17、16、15∴共有6种方案．【变式4-1】（2021春•龙华区校级期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．由题意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商场最多购进乙商品25个；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y＞23．∵y为整数，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．【变式4-2】（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，由题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，则x﹣25＝15，答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，由题意得：，解得：22.5≤m≤25，∵m为正整数，∴m的值为23，24，25，∴有三种方案：①购买A种奖品23件，B种奖品77件；②购买A种奖品24件，B种奖品76件；③购买A种奖品25件，B种奖品75件．1．（2021•张家界模拟）为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包．已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍，若先让乙工程队单独施工14天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作4天后，可完成总工程的．（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；（2）甲工程队每天需支付的工程款为10万元，乙工程队每天需支付的工程款为3万元，若工程费用不超过190万元，则甲工程队最多工作多少天？【答案】（1）甲工程队单独完成这项工程需要20天（2）甲工程队最多工作10天【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，依题意得：+＝，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队单独完成这项工程需要20天．（2）由（1）可知乙工程队单独完成这项工程所需时间为20×3＝60（天）．设甲工程队工作m天，则乙工程队工作＝（60﹣3m）天，依题意得：10m+3（60﹣3m）≤190，解得：m≤10．答：甲工程队最多工作10天．2．（2021•长沙模拟）《三湘都市报》华声在线2月21日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中．从隧道中运输挖出土方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米，大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同．（1）求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？（2）总共有大小货车共20辆，每天需运出432立方米泥土，大小货车各需要多少辆？【答案】（1）小货车每辆运输16方，大货车每辆运输24方（2）大货车需要14辆，小货车需要6辆【解答】解：（1）设小货车每辆运x方，则大货车每辆运（x+8）方，依题意得：，解得：x＝16，经检验：x＝16是方程的解．则大货车为：16+8＝24（方）．答：小货车每辆运输16方，大货车每辆运输24方；（2）设小货车有a辆，则大货车有（20﹣a）辆．依题意得：16a+24（20﹣a）＝432，解得：a＝6，则大货车为20﹣6＝14（辆）．答：大货车需要14辆，小货车需要6辆．3．（2020秋•仓山区校级期末）某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了20%，行驶全程所需时间减少了4小时．（1）求列车提速前的速度；（2）现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围．【答案】（1）列车提速前的速度为100千米/小时（2）m的取值范围为25%＜m≤50%【解答】解：（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，依题意得：﹣＝4，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：列车提速前的速度为100千米/小时．（2）第一次提速后的速度为100×（1+20%）＝120（千米/小时），第一次提速后行驶全程所需时间为2400÷120＝20（小时）．依题意得：，解得：0.25＜m≤0.5，∴25%＜m≤50%．答：m的取值范围为25%＜m≤50%．4．（2021•昆明模拟）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？【答案】（1）第一批采购的耳温计的单价是160元（2）总共获利3700元【解答】解：（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，依题意，得：，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，答：第一批采购的耳温计的单价是160元；（2）第一批采购的耳温计的数量为3200÷160＝20（个），第二批采购的耳温计数量为20×3＝60（个），∴销售完这两批耳温计共获利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．答：销售光这两批耳温计，总共获利3700元．5．（2021春•埇桥区期末）开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些排球和篮球．其中购买排球的总价为1000元，购买篮球的总价为1600元，且购买篮球的数量是购买排球数量的2倍．已知购买一个排球比一个篮球贵20元．种类标价优惠方案A品牌足球150元/个八折B品牌足球100元/个九折（1）求购买排球和篮球的单价各是多少元；（2）为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买50个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过5000元．那么最多可购买多少个A品牌足