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文档简介

§4.2洛必达法则一、未定式五、其他类型未定式的极限二、“

”型未定式的极限三、“

”型未定式的极限四、洛必达法则失效的情况§4.2洛必达法则一、未定式五、其他类型未定式的极限二、一、未定式例如

下列极限都是未定式

如果在某一过程中

函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是无穷大一、未定式例如下列极限都是未定式如果对于型极限有没有更简单、更一般的求解方法？?因式分解复杂二、“

”型未定式的极限对于型极限有没有更简单、更一般的求解方法？?因式分解复杂定理4

1(洛必达法则I)说明

当定理中x

a改为x

时

洛必达法则同样有效

(L’Hospital，1661-1704，法国数学家)设函数f(x)与g(x)满足条件

定理41(洛必达法则I)说明(L’Hospital，1

令f(a)

g(a)

0

于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续

在该邻域内应用柯西中值定理

有

简要证明

定理4

1(洛必达法则I)如果函数f(x)及g(x)满足

(1)当x

a时

f(x)0

g(x)0

(2)在点a的某去心邻域内可导

且g

(x)

0

令f(

解

原式

解

例2.解原式解例2.

解

验型

解

例3.例4.例5.解验型解例3.例4.解：原式=

存在非零因子化简例7.解：原式=存在非零因子化简例7.例8.例8.

因ex

1~x(x

0)

故有ex

sinx

1~x

sinx(x

0)

因arcsinx~x(x

0)

故有arcsinx3~x3(x

0)

例9.因ex1~x(x0)故有exsi

注：

洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,但是要结合各种方法，以求最捷方式.1）等价无穷小替换法2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.3）过程中注意化简.2.只要满足条件，可多次使用洛必达法则.但每次使用前都必须检验极限类型是否为型.

注：洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,1）等价无穷定理4

2(洛必达法则II)

设函数f(x)与g(x)满足

说明

当定理中x

a改为x

时

洛必达法则同样有效

三、“

”型未定式的极限定理42(洛必达法则II)说明三、“”型未定

解

例10.解例10.例11.例12.结论：都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：例11.例12.结论：都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即极限不存在出现循环四、洛必达法则失效的情况

注：

使用洛必达法则时,若不存在，也不为

，这不能说明原极限不存在，此时洛必达法则“失效”，应改用其它方法计算.极限不存在出现循环四、洛必达法则失效的情况注：五、其他类型未定式的极限

对于未定式0

、

、00、1

、

0

都可以转化为例13.五、其他类型未定式的极限对于未定式0、

解

例14.解例14.

解

因为例15.解因为例15.

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