内蒙古自治区呼和浩特市第二十三中学高三数学文摸底试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市第二十三中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等差数列的前项和，若，，则的值为（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：A2.已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则

（

）（A）AB

（B）BA

（C）A=B

（D）A∩B=?参考答案：B3.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量。其中正确的个数是（）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D4.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a1+a2+a3+…+an－1=29－n，那么自然数n的值为（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：答案：B

5.下列函数中，周期是π，且在[]上是减函数的是(

)A． B． C．y=sin2x D．y=cos2x参考答案：D【考点】余弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用三角函数周期计算公式，分别计算各函数的最小正周期，即可排除A、B，利用正弦函数和余弦函数图象和性质，即可求得C、D函数的单调减区间，得正确答案【解答】解：A，此函数的周期为2π，排除A；B，此函数的周期为2π，排除B；C，此函数的周期为π，在一个周期[0，π]内，其单调减区间为[，]，排除C；D，此函数的周期为π，在一个周期[0，π]内，其单调减区间为[]，故D符合题意；故选D【点评】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的图象和性质，三角复合函数的最小正周期、单调区间的求法，属基础题6.已知f(x)=的导函数为，则（为虚数单位）的值为（

）

A.－1－2i

B.－2－2i

C.－2+2i

D.2－2i参考答案：D7.若曲线存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】曲线存在两条垂直于轴的切线?函数存在两个极值点?在上有两个解，即在上有两异根，令，利用导数法可求得的值域，从而可得的取值范围.【详解】解：∵曲线存在两条垂直于轴的切线，

∴函数的导函数存在两个不同的零点，又，即在上有两个不同的解，设，，当时，；当时，，所以，又当时，，当时，，故.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题.8.设，函数的图象可能是（

）参考答案：C略9.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则

A.2011

B.2012

C.2013

D.2014参考答案：

C略10.执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+B．1+C．1+D．1+参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值．∴S=1+++故选B．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列满足，且，则的值是

参考答案：5略12.如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为

；参考答案：13.已知集合P＝，集合Q＝，若PQ，则的最小值为

．参考答案：4画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为，所以k＝?1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以，与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．

14.《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．参考答案：15斤【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．15.△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为

．参考答案：【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为?AB?BC?sinB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16.计算__________。参考答案：17.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取

名学生．参考答案：60【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：.（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）由已知，可得当时，，可解得，或，由是正项数列，故.…2分当时，由已知可得，，两式相减得，.化简得，

……………4分∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴数列的通项公式为.

……………6分（2）∵，代入化简得，…………8分∴其前项和

……………12分19.（本小题满分12分）设F1，F2分别是椭圆E：(0<b<1)的左，右焦点，过F1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；

(2)若直线的斜率为1，求b的值．参考答案：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.(2)l的方程为y＝x＋c，其中.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足因为直线AB的斜率为1，20.已知函数f（x）=xlnx+a，直线y=x与曲线y=f（x）相切．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：xex﹣1[f（x）﹣2]+f（x）≥0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，可得m=1，进而得到切点，可得a=1；（Ⅱ）由xex﹣1[f（x）﹣2]+f（x）=xex﹣1（xlnx﹣1）+xlnx+1=（1+xex﹣1）（xlnx﹣1）+2，令g（x）=（1+xex﹣1）（xlnx﹣1）+2，求出导数，求得单调区间、极小值且为最小值0，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设切点为（m，n），f（x）=xlnx+a的导数为f′（x）=lnx+1，可得切线的斜率为1+lnm，由切线的方程y=x，可得1+lnm=1，即m=1，切点为（1，1），可得a=1；（Ⅱ）证明：xex﹣1[f（x）﹣2]+f（x）=xex﹣1（xlnx﹣1）+xlnx+1=（1+xex﹣1）（xlnx﹣1）+2，令g（x）=（1+xex﹣1）（xlnx﹣1）+2，g′（x）=（1+x）ex﹣1（xlnx﹣1）+（1+xex﹣1）（1+lnx）当x=1时，g′（x）=2?（﹣1）+2?1=0，当x＞1时，（1+x）ex﹣1＞2，xlnx﹣1＞﹣1，（1+x）ex﹣1（xlnx﹣1）＞﹣2，（1+xex﹣1）（1+lnx）＞2?1=2，则g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜1时，（1+x）ex﹣1（xlnx﹣1）＜﹣2，（1+xex﹣1）（1+lnx）＜2，则g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=1处取得极小值，且为最小值0．则有xex﹣1[f（x）﹣2]+f（x）≥0．21.在直角坐标系平面中，已知点，，，…，，其中是正整数，对于平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…,为关于点的对称点.(Ⅰ)求向量的坐标；(Ⅱ)当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是以为周期的周期函数，且当时，，求以曲线为图像的函数在上的解析式；(Ⅲ)对任意偶数，用表示向量的坐标.参考答案：解：(Ⅰ)设点的坐标为，

关于的对称点的坐标为，

…………2分

关于的对称点的坐标为，

…………2分

∴.

…………5分（Ⅱ）解法1：∵

∴的图像由曲线向右平移个个单位，

再向上平移个单位得到.

∴曲线是函数的图像，

其中是以为周期的周期函数，且当时，，

于是时，，

…………10分解法2：设，于是，

若，则，

∴，

当时，，，

∴当时，.

…………10分

(Ⅲ)

∵

∴

=

=

=

…………14分

略22.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；（Ⅱ）根据图形特征可得△AD