数学奥林匹克初中训练题

数学奥林匹克初中训练题第一试选择题(742分

,O点P劣弧AB,DPAQ若PQ=QO设M 2+2+

-2(20052-2 则QC等于 )A×2004+20042).则下列结论中,正确的是 ).(A)M< (B)M> (C)M=

(A) - +2( 2

(D)23(D0<M2005×2 填空题(728分3设a=3

,b=2- ,c 1.3在梯形ABCD,AB∥CD5-2.则abc的大小关系是 )(A)c>a> (B)a<b<a>b> (D)a>c>[x]x,则方x2-8[x]+7=0的所有实数解的个数是().(A) (B) (D)1在梯ABCD,AB∥3

AB=a,CD=b(a<b),∠BCD=45.则梯形ABCD的面积等于(用关于ab子表示kxx2+kx+k+1=0的两个实根分别为x1x2.若x1+2x2=k,则k等 DC,AB=BC 2

x2+x-2AD=AC

,E 整数x共 个F分别是CDA 的中点.则EF的长为 )22 (B) ( 224

5

如图4,在ABC,BC=a,CA=b,AB=a2+a2+=0的两个根.若(|α|-β)(|β|-α)≥1,则k的取值范围是( ).

AB. ACDBCD的内心分别为I1I2,则I1I2 (用关于ab(A)k≥5- (B)k≤5-k 5-2k≥5-

式子表示

k 5-2⊙OABCD

xkx2-2(3k-1)x+9k-1=在ABC中,=90°,D是边B上一点,∠ADC=5.点E,且AE∶BE 10∶3.若DE=2三、(25分)试求出所有的整数n2n21n3-5n第一试

从而 BAC.故DC=A ,DC2,ECDE=ECAE⊥CD,AE⊥AB因此,AE= AC2-EC2=2,EF= AF2+AE2= 41.4因为Δk240,αβ是两个相异的实根由韦达定理得α+β=-k,αβ=-因为题中不等式左边关于αβ对称,(|α|-β)(|β|-α)β-](α-β)(α+β)≥1]k(β-α)] (α+β)2-4αβ≥1] k2+4 k>02k2(k2+4)2

k>0k2≥5-因为2+62+

(1+3)×2=24+2

]k

5-2M

7不妨设AOa>bΖ2>2+Ζ12>6+4Ζ3>2OC=1,则AD=CD=2Ζ9>8,成立c>a 5-2>-Ζ-2>5-2Ζ26+5>7Ζ29+ 30>49Ζ 30> 30>5Ζ30>25,成立记[x]=n(n是整数),n≤x<n1,8n=x27≥7.,n≥1,n是正整数,

QO=QP=x,则AQ=1-x,QC=1+xDQ=AQ·QC 1- QH⊥AD,QK⊥CD,HK,n2≤x2=8n-7<(n+1)2n2≤8n-71≤n≤7

QH=AH

1-

,DH=QK=CK

1+x1-由8n-7<(n+1)2得n<2或n> 由勾股定理得QH2+HD2=DQ21-,n1,5,67,x=1,33,41,

1+x 6,AE

,x2=1]x=1333为AB∥CD,AB=BC 从而

1+

+1=2+3AC=AD,

,AQ=1-x -∠BCA=∠BA

4

(b2-a2)8AE⊥DCBF⊥DC,E、F

由Rt ABC∽Rt ACD∽Rt CBD,得r1= b ,r2= 为垂足. a2+ a2+EF=AB=记AE=BFh,则DE=AE=

,r12+r22=r2I1I2 I1D2+I2D2 (2r1)2+(2r2)CF BF°=h

=2·r2+r2 2r 2(a+btan h

又b=CD=EF+DE+CF=a+h 3,h=3b-a)=3-3b-a

a2+b2)

第二试,

1+1

(a+b)h=3-3(b2 a2)

梯形ABCD

kx2-2(3k-1)x+9k-1=的两个整数根为x1x2,且x1≤x22.

x+

=6-2,x

=9-1

1 1k2-4k-4 k,2因为x2=-kx2

-k-1,所以 2x1x2-x1-x2=122x1+2x2=k]x1-2kx2=3k+2

(2x1-1)(2x2-1)=

,2x1-

≤2x2-](x1+x2)-(2k+1)x2=3k+

2x1-1=1

2x1-1=5]-k-(2k+1)x

=3k+

2

-1=25

2

-1=5]-(2k+1)x2=2(2k+](2k+1)(x2+2)=

2x1-1=-252x2-1=-1

2x1-1=-52x2-1=-2k10,k=-12x2=-2k=

x1=1x2=

x1=x2=

x=-12,x2=0;

x1=-2x2=-x2+x-2=y2,y∈N,4x2+4x-8=(2y)2即(2x-2y+1)(2x+2y1)32

x1=x23,k =-1,1,19-x1x

2x-2y+1=12x+2y+1=9

2x-2y+1=32x+2y+1=3

BDCD=AC

,AD 2AD 1+50x222x-2y+1=-3,2x-2y+1=-9 由 =1AB·DE=1BD·AC,2x+2y+1=-3;2x+2y+1=- x=2 x=1 x=-2 x=-3 1×13x×2= 2+9x2×1+50x2 y2 y0 y0 y= ,x4个

450x4-229x2+2=x2=229±48841=229±221=12

(a+b a

b)

ABC

BCD的内切圆半径 于是,x

22 22rr1r2,r=a+bI2DI1=

a2+ AB>BC, 数学奥林匹克高中训练题ABCDa,∠Aπ分 3.将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ.x|的部 θ∈π,2π,则异面直线AC与BD距离 图像是图1中的 ) 最大值为 )(A)3 (B)3 (C)3 (D)3 集合12⋯100的某些子集满足条集中所含元素个数最多是().(A) (B) (D)a0,a≠1f(x)=loga(x x2-1)(x≥1)f-

(n)

3n+3- 其中n13x 2+9x2 1+50x2>+ 所以,8A2-80A≤120,x

+1

22.故只能是x 22

(A-5)22 2SBCF+SACF=SABC

A-52≤36,|A-5|-1≤A≤11,A1(BC+AC)CFsin2

1AC·BC2

注意到Δ=-8A2+80A+121的对称轴为=5,列表如下 2

26

262

×26 表解得CF= 5三、2n21,“2n21整除n3-5n5”等价于“2n2+12n3-10n+10”.

A-1,0,1,2,3A-1,0,1,2,3,4,5Δ2