部编人教版高中数学A版必修-三角函数的概念课件

5.2.1

三角函数的概念三角函数5.2.1三角函数的概念三角函数部编人教版高中数学A版必修-三角函数的概念ppt课件一二三一、三角函数的定义1.在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sinα,cosα,tanα?这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢?一二三一、三角函数的定义一二三提示:sin

α=y,cos

α=x,tan

α=.这一结论可以推广到α是任意角.一二三提示:sinα=y,cosα=x,tanα=一二三2.填空如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值

叫做α的正切,记作tanα,即

=tanα(x≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空一二三2.填空一二三答案:B(2)如果在角α的终边上有一点M(3,4),那么如何求角α的三个三角函数值?一二三答案:B(2)如果在角α的终边上有一点M(3,4),一二三5.如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sinα,cosα,tanα的值是否还存在?提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan

α的值不存在,因为分母不能为零,但sin

α,cos

α的值仍然存在.6.填空三角函数的定义域如下表所示.一二三5.如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点一二三二、三角函数值的符号1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sinα,cosα,tanα在不同象限内的符号吗?提示:当α在第一象限时,sin

α>0,cos

α>0,tan

α>0;当α在第二象限时,sin

α>0,cos

α<0,tan

α<0;当α在第三象限时,sin

α<0,cos

α<0,tan

α>0;当α在第四象限时,sin

α<0,cos

α>0,tan

α<0.2.sinα,cosα,tanα在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三二、三角函数值的符号一二三3.做一做判断下列各三角函数值的符号:一二三3.做一做一二三三、诱导公式一1.30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?提示:终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.2.填空诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.一二三三、诱导公式一一二三一二三探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用三角函数的定义求三角函数值例1求解下列各题:(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cosα-sinα=

.

分析:(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用三角函数的定义求三角函探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟利用三角函数的定探究一探究二探究三思维辨析随堂演练判断三角函数值的符号A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sin

α,cos

α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练判断三角函数值的符号探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解析:由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二、第三象限角.由

可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.答案:C(2)解:①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°·cos

230°<0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解析:由sinαt探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

三角函数符号的判定:对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟三角函数符号的判探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)已知α=2,则点P(sinα,tanα)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:因为

,即α在第二象限,所以sin

α>0,tan

α<0,则点P(sin

α,tan

α)在第四象限.答案:D(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(

)A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]解析:由cos

α≤0,sin

α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)已知α=2探究一探究二探究三思维辨析随堂演练诱导公式一的应用例3求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);分析:将角转化为k·360°+α(k∈Z)或2kπ+α(k∈Z)的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin

90°+b2tan

45°-(a-b)2tan

45°-2abcos

0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练诱导公式一的应用探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟诱导公式一的应用探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视对参数的分类讨论致误典例

角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cosα=

.

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中,误以为a>0,没有对a的正负进行分类讨论,导致r求错,从而结果错误.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视对参数的分类讨论致误探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施

在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施在利用三角函数的探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知角α的终边在直线y=x上,则sinα=____.解析:易知角α的终边在第一象限或第三象限,当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,1),探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知角α的终边在直探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A3.若tanθ·sin2θ<0,则角θ在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限解析:因为tan

θ·sin2θ<0,所以tan

θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A3.若tan探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练章末整合附赠三角函数章末整合附赠三角函数部编人教版高中数学A版必修-三角函数的概念ppt课件专题一专题二专题三专题一

三角函数的图象及其变换

专题四专题一专题二专题三专题一三角函数的图象及其变换专题四专题一专题二专题三

归纳总结由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.专题四专题一专题二专题三归纳总结由已知函数图象求函数y=Asi专题一专题二专题三(1)求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移

个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式;专题四专题一专题二专题三(1)求f(x)的解析式;专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题二

三角函数的求值例2试求tan10°+4sin10°的值.分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先将切化弦通分,然后根据角之间的关系求解.专题四专题一专题二专题三专题二三角函数的求值专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三归纳总结三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角.给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.专题四专题一专题二专题三归纳总结三角函数的求值问题通常包括三种类型专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题三

三角函数的化简与证明

专题四专题一专题二专题三专题三三角函数的化简与证明专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三例5求证:sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α).分析:右边较为复杂,可考虑从右边向左边证明.证明:右边=4sin

α(sin

60°cos

α-cos

60°sin

α)·(sin

60°cos

α+cos

60°sin

α)=sin

α(3cos2α-sin2α)=sin

α(2cos2α+cos2α-sin2α)=2sin

αcos2α+sin

α(cos2α-sin2α)=2sin

αcos

αcos

α+sin

αcos

2α=sin

2αcos

α+cos

2αsin

α=sin(2α+α)=sin

3α=左边.故等式成立.专题四专题一专题二专题三例5求证:sin3α=4sinαsin专题一专题二专题三归纳总结用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法:(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差异,借助于以下几种途径进行变换:①常值代换,如“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan

45°.②变用公式,如sin

αcos

α=sin

2α,tan

A+tan

B=tan(A+B)(1-tan

Atan

B).专题四专题一专题二专题三归纳总结用三角恒等变换进行化简、证明的常见专题一专题二专题三专题四