河南省商丘市博轩中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析

河南省商丘市博轩中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为两个非空集合，定义集合,若,，则中的元素个数是（

）A.9

B.7

C.6

D.8参考答案：D2.若x＜，则等于(

)A．3x﹣1 B．1﹣3x C．（1﹣3x）2 D．非以上答案参考答案：B【考点】方根与根式及根式的化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用根式的运算性质即可得出．【解答】解：∵x＜，∴1﹣3x＞0．∴==|1﹣3x|=1﹣3x．故选：B．【点评】本题考查了根式的运算性质，属于基础题．3.给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有（

）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案：C【分析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误.【详解】－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.故答案为：C【点睛】本题主要考查象限角的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.4.若，则下列不等关系中不一定成立的是A.

B.

C.

D.参考答案：A5.A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，C={x|x=4k+1，k∈Z}，又a∈A，b∈B，则(

)A．a+b∈A B．a+b∈BC．a+b∈C D．a+b∈A，B，C中的任一个参考答案：B【考点】元素与集合关系的判断．【专题】规律型．【分析】利用集合元素和集合之间的关系，表示出a，b，然后进行判断即可．【解答】解：∵a∈A，b∈B，∴设a=2k1，k1∈Z，b=2k2+1，k2∈Z，则a+b=2k1+2k2+1=2（k1+k2）+1∈B．故选B．【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的判断，比较基础．6.直线l经过原点和点(－，1)，则它的斜率为A.－

B.

C.

D.参考答案：B7.已知过点的直线与直线平行，则的值为（

）A．0

B．-8

C．2

D．10参考答案：B由题意得，。8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的形状一定是（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形参考答案：A【分析】结合已知条件及正弦定理进行化简，求出三角形的形状.【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，即，故是等腰三角形.故选【点睛】本题考查了运用正弦定理求解三角形形状，在运用正弦定理时注意边角之间的互化，需要掌握解题方法.9.若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA为()参考答案：A10.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算log29·log35·8=

．参考答案：12【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的性质、换底公式及运算法则求解．【解答】解：===12．故答案为：12．12.设，若f（x）=3，则x=． 参考答案：【考点】函数的值． 【分析】根据已知中分段函数的解析式，我们分x≤﹣1时、﹣1＜x＜2时、x≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x值，即可得到答案． 【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去） 当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去） 当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去） 故当f（x）=3，则x= 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是函数函数的值，分段函数分段处理，分别在若干个x的不同取值范围内，构造满足条件的方程，并结合x的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法．13.函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=

．参考答案：【考点】对数函数的图像与性质；幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】欲求函数的图象恒过什么定点，只要考虑对数函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）的图象恒过什么定点即可知，故只须令x=2即得，再设f（x）=xα，利用待定系数法求得α即可得f（9）．【解答】解析：令，即；设f（x）=xα，则，；所以，故答案为：．【点评】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及幂函数的性质，属于容易题．主要方法是待定系数法．14.在中，，则的最大值为

。参考答案：2

略15.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为． 参考答案：【考点】弧长公式． 【专题】计算题． 【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值． 【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足， 并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1． Rt△AOC中，r=AO==， 从而弧长为αr=2×=， 故答案为． 【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题． 16.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则关于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解是．参考答案：{x|﹣1≤x＜2}【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=xα，α为常数．把点（2，）代入可得：，解得α，再利用幂函数的单调性即可解出．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，α为常数．由于图象过点（2，），代入可得：，解得．∴f（x）=．可知：函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∵f（a+1）＜f（3），∴0≤a+1＜3，解得﹣1≤a＜2．∴关于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解集是{x|﹣1≤x＜2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查了幂函数的解析式与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为

。参考答案：3变量满足约束条件的可行域如图：目标函数经过可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0,3），所以目标函数的最大值为：3.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的首项，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.参考答案：（1）证明：，因此数列是等比数列，且公比为2，（2）由（1）及题设可知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，因此，于是，所以，设数列的前n项和为，两式相减，可得，数列的前n项和为，所以。19.在平面直角坐标系xoy中，已知向量=（﹣，），=（cosx，sinx），0≤x≤π，且f（x）=?．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值；（3）求f（x）的单调区间和最值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（1）根据向量的垂直的条件和向量的数量积公式即可求出，（2）根据向量的数量积公式即可求出，（3）先化简得到，再根据三角函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（﹣，），=（cosx，sinx），⊥，0≤x≤π∴?=﹣cosx+sinx=0，∴tanx=（2）∵=（﹣，），=（cosx，sinx），∴?=﹣cosx+sinx=||?||cos=∴sin（x﹣）=，∴x﹣=或x﹣=∴；（3）∵=（﹣，），=（cosx，sinx），∴，∴f（x）的增区间，减区间；∴；．20.（本题13分）

已知函数。（Ⅰ）若，试判断并证明的单调性；（Ⅱ）若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围；（Ⅲ）当时，求函数的最大值的表达式。参考答案：略21.已知扇形的周长是10cm,面积是4cm2，求扇形的半径r及圆心角α的弧度数.参考答案：22.已知函数．（1）判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值．参考答案：（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；（2）由函数的单调性即可得函数最值.试题解析：（1）解：在