数学物理方法讲义

《数学物理方法》

（MethodsofMathematical

Physics）

《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要

基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程,

为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），

数理方程（26学时）

第一篇复变函数（38学时）

绪论

第一章复变函数基本知识4学时

第二章复变函数微分4学时

第三章复变函数积分4学时

第四章塞级数4学时

第五章留数定理及应用简介2学时

第六章付里叶级数

第七章付里叶变换

第八章拉普拉斯变换

第二篇数学物理方程（26学时）

第九章数理方程的预备知识

第十章偏微分方程常见形式

第十一章偏微分方程的应用

绪论

含义

使用数学的物理——（数学）物理

物理学中的数学——（应用）数学

MathematicalPhysics

方程

X=\

X2=1

a{x+bxy-cl

a2x+b2y=c2

dx/\

—=a(t)

dt''

xdt-

常微分方程

<72

ax2

---9--coX二0

(dt)

xAcos{cot+C)

偏微分方程——数学物理方程

dy/dy/dy/

•dy2dz2)

〃=〃(x,y,z)

h2d2y/'

22++U(x,y,z

dt2m[dxdy为2,

W=W(x,y,z")

复数

i.数的概念的扩充

正整数(自然数)1,2,­••

运算规则+,一,X,土,()2,一

-1—2=—1

负数0,-1,-2,

整数…，-2,-1,0,1,2,…

-=0.5!=0.333…

・23

有理数(分数)整数、有限小数、无限循环小数

«行=1.414…

无理数无限不循环小数

实数有理数、无理数

V—1=/

虚数”

复数实数、虚数、实数+虚数X，V，X+yi

2.负数的运算符号

X2=—1

X=+Z

J—1

1虚数单位，作为运算符号。

3.作为方程的解

ax2+bx+c=0

-b±\b2-4ac

x二-------------------------(20)

2ab-4ac>

-b±i(b2-4rzc)

X—(b2-4acY0)

2a

4.数学运算的需要——数系的完备性、自洽性

5.物理学的需要——平面矢量、二维数组

第一章复变函数基本知识4学时

复数表示

z-x+iy

三角式z=pcoscp+ipsincp

icp

指用将数士式z-Lpe

几何意义

运算规则

复变函数

•=/(z)

z=x+iy

w=u+iv

z—p-ei(P

yv-reiO

u=w(x,y)

v=v(x,歹)

(x,y)<-->(〃，v)

常用初等复变函数

指数函数

三角函数

双曲函数

对数函数

根式函数

反三角函数

塞函数

一般指数函数

第二章复变函数微分4学时

复变函数的极限

lim/(z)=A

ZfZ。

复变函数的连续性

lim/(2)=/(z0)

z->z。

lim〃(x,y)=〃(Xo,J。)

Jx4->Xo，No

limv(x,j/)=Mx。，孔)

IXJfXo，Vo

复变函数的导数

加二lim/UGO)

dzzfZoz-ZQ

解析函数

在z。点，及其某一邻域内的每一点可导。

在D区域，处处可导。

连续、可导、解析三者关系

在Z。点，如可导，则连续。

lim(/(z)-/(z()))=孚lim(z-zo)=O

Zfz()dzZfz()

lim/(z)-/(zo)=O

zfz()

在2。点，如解析，则可导。

即在Z。点，连续、可导、解析三个条件依次变强。

而在。区域，可导与解析等价。

柯西…黎曼方程

dudv

<dxdy

dudv

dydx

可导、解析、柯西…黎曼方程三者关系

可导的必要条件是跳，号，上£存在且柯西…黎曼方程成

dxdydxdy

立。

可导的充分必要条件是已手，上学连续且柯西-黎曼方

dxdydxdy

程成立。

在D区域，解析的充分必要条件是矍，粤，已空连续

dxdydxdy

且柯西…黎曼方程成立。

条件M,品।连续

等价于

7du.du1

全微分du=—dxH--------dy,公存在

dxdydxdy

或称

uv=v(x,y)处处可微

调和函数

，°2〃g2〃、

、SX2+Sy2,

共辄调和函数

"d2uda2u\

+=0

、2

dudv

dxdy

dudv

dydx

解析函数、调和函数、共朝调和函数三者关系

在。区域，如/(z)解析，

则〃=〃(x,y),v=v(x,y)调和，

从而丫与“共匏、〃与一丫共朝。

构造解析函数

调和函数+柯西―黎曼方程f解析函数

常用初等复变函数具有解析性

第三章复变函数积分4学时

复变函数的积分

z-x+iy

/(z)=〃+，v

C:y=y(x)

jf[z}dz=\(udx-vdy)+i\(udy+vdx)

ccc

/(z)=reie

C:夕=夕(0)

j/(z)dz=\rel^0+(p^dp+iJrpel^0+(p^d(p

复变函数可积条件

沿曲线

充分条件/(z)

沿曲线

必要条件/(z)

柯西积分定理

如/(z)在单连通区域D内解析，

C为D内任一周线，则

步(z)dz=O

C

推论

解析函数积分与路径无关

J/(2)dz=J/(z)dz

C\C2

如/(z)在单连通区域D的边界r(分段光滑)上连续，则

(z)dz=0

r

对多连通区域的边界「=「0++•…，亦有

/（Z）dz=o

r

可表示为

"(2比=",狂+"(2达+…

「0『1「2

z

对。内任一点o，有

柯西积分公式

/（z（））=，-g/G）必

Z；Z—Zo

推论

设c为简单闭曲线，D为C的外部区域，/（0°）有限。

如Z0在。内，则

/(zO)=-^―Jf⑺dz

Z71IZ~Z0

Z7riCzI，-znCz8ni/zU-zn

二J/(z)dz+/(oo)

Z7llJiZ~ZQ

=f'")dz/(8)=0

Z7TIZ-Zo

如zo不在D内，则

0

ZTCi*Z-ZQ

L[3/+，]3dz=0

znic'lz-Zozniz-z0

f/(Z)dz+/(oo)=0

Z7llc<Z-Zo

_!—ff'z)_dz=0f(oo)=0

2

ZTCic,xz-ZQ

此时/（Zo）无意义。

第四章嘉级数4学时

4—1复级数

00

Zzk

复级数

k=l

复级数的收敛

00

复级数的绝对收敛

k=l

复级数收敛的必要条件lim2%=°

女一>00

00

复级数收敛的充分条件S\Zk\收敛

k=l

复级数收敛的充分必要条件

n+p

Y£

1对任意小£,有；当n>N,Lk

Nk=n+\

0000

2E*k、2九收敛

k=lk=l

00

复级数绝对收敛的必要条件EZk收敛

k=l

0000

复级数绝对收敛的充分必要条件Z收敛

k=1k=1

4—2复函数级数

00

复函数级数Z，（z）

k=\

00

复函数级数的收敛在Zo点/（z）=Z/*（z）

k=\

对任意小£，有N（与Z。点有关）；当N,

E/（2）-/（z）Y£

k=\

复函数级数的一致收敛在。区域

对任意小£，有N（与z。点无关）；当n>N,

E九⑺-/（z）|Y£

复函数级数一致收敛的充分必要条件

对任意小£,有N（与z。点无关）；当n>N,

n+p

Efk（z）Y?

左=〃+1

复函数级数基本性质

00

如|九（2）<朋\,且后收敛

k=l

00

则EA（z）在D区域绝对且一致收敛

k=l

在D区域,

00

如九G）连续，且2九Q）一致收敛

k=i

则/（z）连续

沿c曲线，

00

如九（z）连续，且2九（z）一致收敛

k=l

00

则J/（2*=XJfkGYz

C卜=1c

在D区域，

00

如九（）解析，且EA（z）一致收敛

k=l

则［（Z）解析

00/、

厂）（2）=£九G）

常用级数

oo1001001

Zy-

k=\Inkk=ia£k!

001p＞］收敛pWl发散

zk\npk

k=2

p＞］收敛pwi发散

00sink

pA。收敛

zTr

k=l

00cosk

p＞。收敛

z"I7"

k=\

4—3复幕级数

00

k=0

在卜IYR收敛

在|z|WrYR绝对一致收敛

收敛半径

n°k

R=kliTm8-c

ck+\

RlimC

kTgk

R。，火0,+00

级数收敛判别法

k+\

Ck+\Z

lim

kT9kY1收敛

CkZ

4—4塞级数展开

对/(z),如z0非奇点，在\z-z^R

Taylor级数

00

/(z)=E匕(z-z。)"

k=0

小)

Ck=^r

对/(z),如z0孤立奇点，在/Y|Z-ZO|YR

Laurent级数

00

/(z)=Z4(z-z0)

左=一00

z-z\=prYpYR

闭合曲线r：Q

对/(z),如z0非奇点

左＞0时，由柯西积分公式

/任）（2。）=AjJ-g△△—dz

\k+l5乙

2711*-zo）

aY0时，由解析函数性质

4—5复函数的零点与奇点

/G）

复函数的零点

23・-/

zzzsinze/zez-l

复函数的奇点

g(z)=%(z)

奇点分类

无穷远点性质

/(z)

4—6塞级数求和

00

Ez°y=/Q）

左=0

第五章留数定理及应用简介2学时

留数定义

/（Z）解析,。Y|Z—Z0|YR

zo孤立奇点，

C：匕一Zo|二lR

00K

/（2）=E%（2-Zo）

左二-oo

Res/（Zo）=c_]

=f/（z）dz

27TI

/（Z）解析，RY|z|Y+8

00孤立奇点，

Q.RYz=yY+oo

00/

/(z)=ICk(-)

k——oo

Res/(oo)=-c_1

=——,/(z)dz

J

2711C.

留数定理

r周线

D包围区域

Zk奇点

H1

fRes/(zj=「4/(z)dz

g2力

^Res/(zj+Res/(oo)=0

k=l

留数计算

留数理论应用

第六章付里叶级数

6—1付里叶（Fourier）级数（复数形式）

00K

/(z)=工CkZ

左二-00

D：l-£=/YZYR=1+£

ie

令ze

夕=i,owew2万

00ikO

g(e)=Ee

则

k=­s

如g*e)=g(e)

ik6

而是区间owew2万上的正交完备函数族

12万

，=或）-ik®

jgeedd

故

乙儿0

*

co=co

从而

00ikO

g(e)=Ec

k=-8

0000

=0o+Zq(cosie+，sin《8)+'ck(coskO-ismkd)

k=lk=l

=%+£L+cj)coske+ifL-/*)sink®

k—\k=T

0000

=g+Z4cos「e+，bksin左9

k=\k=\

令g(e+2")=g(e)

可将g(。)解析开拓到区间-8YeY+oo

ck=Ak+iBk

*

ck=4-刈

*

ak=ck+ck=2Ak

bk=£-，*}二-24

12zr

ao=—Jg®)de

0

12TC(-ikeikey

ak=e+ede

2〃jg⑻

J

[2»

cos

一，g(。)kOdO

71o

・2%

bk=±jg®)(-ikeike\

e-edO

乙〃oI)

]2zr

——Jg(。)sink3d0

71o

6-2付里叶级数（实数形式）

0000

g(e)=%+Zwcoske+Zbksin左。

k=Tk=l

[2万

bk=Jg®)sink®d6

71o

71

0--X

令

O<0<2TI0<x<

-7l<0<+7T-I<X<

Nx)=g®)=/(z)

00万00兀

（）

Fx=%+Zakcosk—x+工bksink—x

Ik=\I

dx

1

cosk-xdx

bk=1sink-xdx

A.7

付里叶级数收敛充分条件

------Dirichlet定理

—/WX<+I

厂G）连续有限个极值点Xk

不连续有限个间断点Xk

月（乙-。）+尸（/+。）

厂（乙）=

2

-00YXY+00

F（x+2l）=F（x）

则F（x）可展为

00万00

耳、）=旬+Z怎COS^-X+Zasmk-x

k=\Ik=\

付里叶级数收敛充分条件（严格）

—/«xW+1

厂G）连续绝对可积

-00YXY4-00

F（x+2l）=F（x）

例题

-71<X<+不

厂（+皿

X

例题

,n

--<X<H------

22

君W-x

MH=12）

例题

—/VxV+1

1

厂(x)=sin—=sin-yx=sinGX69=—7

xxX

F(x)=0cox=k7i

7cox1kji1

k-——二——x=——二——

717TXcokji

x->0

8

kfg

常用付里叶级数

正弦波（奇）

8-

-腐）=Sbksin^-x

k=lI

余弦波（偶）

00兀

尸（x）=%+Zwcos左一X

k=TI

锯齿波

F（x）=x—/Vx<+/

《）=汇■sin彳

k-\

矩形波（奇）

0<x<+/

-/<x<0

A001

尸sin（2??-l）—x

nn-\2n-l

三角波（奇）

-/W-%

-Al-x-+lA

+%<X<+1

F(x)=$5*sin(2z?-l)—x

三角波（偶）

2az

+——(x+/A)-l-x4-%

2a

------x

I

尸（x）=

2a

H-----X0<xw+%

I

-—(x-n+y/2WXV+/

a1

FX=cos(4z?-2)—x

()2兀2N(4〃—2)2

半波整流

[0

昨

[Kosincot

KV..2%：]

TVZ=-o+—sin+--XcosIncot

"2兀1-（2〃丁

全波整流

丫[-Vosincot

+八sincot

TZ2ro%/1c

V---------1--------〉---7---COS27769/

71%念1-（2Z7）2

付里叶级数的频谱

0000

尸（，）=%+zakcask"+Z4sinker

k=[k=l

2万7T

X-T=21CO〒一不

以、bk〜k3、k

通常0

白噪声%、bk~常数

付里叶级数的积分

如尸G）分段连续—14x4+1

00万8兀

如）=左一左一

Eakcosx+Zbksinx

k=lIk=lI

oof冗兀\

=ZWcosk—x+b.「sin左一x

k=lIII）

则

X

jF（x）dx

—1

]+/

=----JxF（x）dx

2/—

1（.j71jjTLL）

+>——aksmk—x+bkcosk--x

k=ik兀、II）

或者

00兀00_

+£以左一

F（x）=cosk—x+£bksinx

k=iIk=iI

00A冗兀、

=%+Zakcost—x+hksink—x

k=lII/）

X

jF(x)dx

—I

oo

=g(x+/)+Z(-i)A—

k=iki

007’.TC71

+y——aksink——x+bkcosk——x

k=\k7iJ

付里叶级数的微分

如F（x）连续—14x4+1

厂'(1)绝对连续

00兀00

COS左一X+Z4

尸（、）=。。+Eaksink-x

k=lIk=l

冗\

00771

=%+Z4COS左一X+bksin左一x

k-\/）

则

尸(X)

_F（/）-F（-/）

-I

2/

j洋尸⑺一网―少华J

+）——b,+（-1）——--------cosA:—x------a,sin左一工

trLui）/uJ/.

如F（/）-F（-/）=0

s"77"（TTTT'

（）

尸x=£-T-bkcosk-x-aksink—x

则k=iI\1I）

有限区间上的付里叶级数——解析延拓

/(X)0<X<+/

平移延拓

F(x+/)=F(x)T-I-QOYXY+oo

奇延拓

产(―1)=一/(%)T-21-QOYXY+oo

偶延拓

尸(一X)=F(x)T—2/—ooYxY+oo

第七章付里叶积分

7—1付里叶积分

00ikO

ge)=E©卜

k=-oo

-ikO

de

00万00

F(x)=a0+£以cos^-x+Z4sin左一x

k=\Ik=\

]+/TC

ak=-JF(X)COSk-xdx

I-i

bk=；0(x)sin上(xdx

i-i

4-oo

/(X)=-----尸el0)xdco

J(2乃)%J0)

—00

--ICDX

/（。）=/G)edx

X，。为实数，/'（X）一般为实数,尸（。）一

般为复数。

付里叶变换

F[/(x)]=F(①)

F-廿3)]="X)

常用函数的付里叶变换

15函数

1+81

5(%)=-----j---------(7dco

(2n2(2»”

[+8

=—f/xdco

2万

—00

[+8

/（。）=7^5i

jfyVicoxdco

（271）/2_00

_]

（2%）%

即

2Gauss函数

一一_1

F。Le」-（2a）%]/e

3常数函数

/（%）=1-00<X<00

£1=（2»）/5（G）

4框形函数

/（x）=1-b<x<b

/2]/sinbCD

、兀)co

付里叶变换主要性质

线性性质

位移性质

相似性质

微分性质

积分性质

乘积定理

能量性质

相关函数

+8

招2(了)=J工(%)力”+工)出

互相关函数

—00

+00

R(E)=f/(0dt

自相关函数

—00

+oo

R«)=jI厂3)2ei0)Tdo

—00

7—2卷积

卷积定理(convolutiontheorem)

定义

+00

/(x)0g(x)=J/(x—x)g(x)dX

—00

+oo

/(o)0G(。)=jF(co-Q)G(Q)dQ

—00

结论

Fg(x)]=(2万卢尸(o)G(。)

f=F(co)®G(G)

5函数

广义函数

定义

+00x=0

"x)={

0xw0

4-oo

f5(x)dx=1

—00

性质

+00X=

“x-x())={

0xwX。

+oo

j(x-x0)dx=I

—00

5GoX)=^(x-x0)

+oo

J3(x-xQ)/(x)dx=/(x0)

—00

表示

1sinkx

5(x)=lim

k—>+oo71X

1+8

3(x)=皿dco

2万

物理意义

力学质点

2=mb(x)

4-oo+oo

M=[2dl=[mb(x)dx=m

—00—00

电学点电荷

2=q“x)

+oo4-oo

Q=J2dl=J夕(5(x)dx=q

—00—00

光学点扩散函数

/，(/)=//(x)0/(x)

/，(£)=4-jooh{x'-x)/(x)dx

—00

力(X)="X)

/'(x')=+oJoS(x-x')/(x)dx=I(E)

—00

第八章拉普拉斯变换

1cr+zoo

歹（s）ds

2Tli

4-oo

b(s)=f/(0「dt

o

g(/)=fg，

F[g(，,cr)]=G(0,b)

s（J+10）

F［g（/）］=G（s）

k［G（s）］=g（/）

拉普拉斯（Laplace）变换

I［/（，）］=尸（s）

「［尸（s）］=/（，）

/（，）-g（，）c•G（s）一•尸（s）

第二篇数学物理方程（26学时）

第九章数理方程的预备知识

9-1常微分方程

常微分方程

y=Mx)

y=Q(X)

yff=MH

a[x}y"+b(x)yr+c(x)y+d(x)=0

ax(x)y'+(x)y+cx(x)z+dx(x)=0

a?(x)z'+b2(x)y+c2(x)z+d2(x)=0

(y")2=a[x}

定解条件

y=q(x)

-二4(X)

dx

dy=a(x)dx

y=Ja[x}dx

a(x)=x

y=—x2+C

2

V=X

•/V./VfA

_12

rC=K~~xo

•Y/V—•Y/V/AVo

x

如X表示坐标，称边界条件，通常o取区间边界。

x

如X表示时间，称初始条件，通常o取时间零点。

偏微分方程

〃=夕(x,y,Z

(do2i//od2y/od2y/、

、dx2dy2dz2)

\J/

9-2二阶常微分方程的级数解法

y'+P[x}y+Q(x)y=Q

00J

y(x)=£CkX

k=0

>=Co%(x)+cg(x)

微分方程的解析解、级数解、数值解

例题勒让德(Legendre)方程

(1-x2^y"-2xyr+/(/+l)y=0

〃2xr

yy+

-^”1-X尸。

00

y(x)=ZCkx

k=0

OO7I3k

y(x)=tkCkX=£(左+1)%1x

k-Qk=0

oo1Qa)i

y(x)=Z(田依Thx迂(左+2)优+1)%2X

k=0k=Q

00

£Ckx=0

k=0

C.=0

ft

9-2本征值问题

Sturm-Liouville方程

且H、)包—g(x)y+初(x)y=。

dx|_dx

算符

L=--k[x}—+^(x)

dx[_dx]

本征方程

Ly=2p(x)y

本征值4

本征函数小）

Sturm-Liouville方程的常见形式

简谐方程

d[dy卜⑪=00Y尤Y1

dx\_dx_

贝赛尔方程

ddy冽2

-Xy+3=o0Y无Ya

dx|_dx_

球贝赛尔方程

ddy

—x2——1(/+l)y+人=0Oy尤Ya

dx\_dx_

勒让德方程

/J

+TV"1

连带勒让德方程

4(i-^2浦-百乎+办"

dx|_

—1YXY1

边界条件

齐次边界条件

力1＞（。）+42歹'（。）=。

f

B2y（b）=0

周期边界条件

V（。）|=26）

，（。）|=

自然边界条件

加（。）YM

B3）YM

本征值问题=本征方程+边界条件

Sturm-Liouville本征值问题的主要结果

条件

左（X）

夕（x）

结果

1.本征值存在实数

2>0

lim4=+oo

左一>8

3.如齐次边界条件

乙、本征函数

本征值对应

》左（1）有k个零点

QYXYb

4.如周期边界条件

一个本征值可与多个本征函数对应一一即简并

%(%)a<x<b构成正交完备函数系，即

00

，(x)=2%以(X)

k=Q

2^0

444°B{B2>0

2=0Vo(x)=l

6.2连续

第十章偏微分方程常见形式

偏微分方程数学物理方程

10-1物理形式

拉普拉斯方程(Laplace)

U=〃(X,>,Z)

，会2Q2久2、

OUOUOU八

-2r+-r+—2r=0

<dxdydz?

波动方程

U=W(X,J,Z,/)

d2U2(合2〃合2〃,

22

dtQyQzJ

输送方程

u=〃(x,y,z,『)

222

du2(Sududu'

22

dt(S/QyQzJ

麦克斯韦电磁波方程(Maxwell)

・屋E1d2E_

22

<dt£udx

62H1d2H

.dt2£u8x2

薛定谓方程(Schrodinger)

▼=〃(x,y,z")

o2

di//_'2(32〃O11/、

计t+驾H------丁+U(x,y,zV

dt2mIdx28z2)

10-2数学形式

10-3基本例题

u=〃(x,y)

2.u=u(x,)

-----------------二u

dxdy

u=〃(x,y,z

2

QUA

[SV办2&2J

Au=0

X)

4.uu

d2u

=0

dx2

d2u

二0

6.u—u（人。，9）

ia

A=]

r2sin2^6^

Au-0

U—14r

7.)

8.

d2uy

=0

9.行波法

U二u(x")-00YXY+00

d2US2”

—T-a2-7=0

dt2dx2

10.行波法

14—14(X")0<x</

d2U2c

-v-a—r=0

dt2a%2

11.分离变量法

U=U（X"）0<x<Z

2

du2

—9—Q—7=0

dt2dx2

第十一章偏微分方程的应用

例题1薛定谓方程一氢原子中的电子

例题2波动方程一导体空腔中的电磁波

偏微方程

分离变量

本征方程

级数解法

定解条件

特殊函数

1微观粒子

1926薛定丹波动力学

状态函数

〃=〃（X,儿Z,/）

薛定娉方程

*2m、dx2dy2dz2,

哈密顿算符

2

八-h-(52a2球、

H=------++u

22

2mdx5/5z?

2

^-V+u

2m

a2a2

A=V2+

dx2

含时薛定常方程

Hy/

dt

2氢原子中的电子

U=U&)=——

〃=〃（/，e,0,，）

物理算符

人2£2

巴-++。⑺

2m2mr2

2

£2=_%2[iaS、1a

(sin。--)"I----；-------T

sin。dOd6sin26d(p

fi打2力

Lz=-n——-

d(p

人,5

L_=—ih—

d(p

分离变量

〃=wQ,e,(P,t)

〃=〃尸（"，0）f（0

〃=R(r)Y(0,(p)f(t)

w=R⑺0(e)①(°)f(t)

〃尸=火(尸)丫(仇。)

y（e#）=®（e）①（。）

本征方程

叶S“TT

in——二Hw

dt

〃=〃尸f(0

.力\df_\力__

z力----一--H\J/~一E

fdt〃产

ih^—=Ef

dt

Hy/r=Ey/-

ih^-=Ef

dt

_.E

f(f)=Ce"

人

HW亍=Ei//-本征方程一定态薛定谭方程

力=%亿”。)=%⑺力(“。)

Hi^-=Ey/-

〃尸=火(尸)丫(仇9)

八2f2

^-+-^+C/(r)7?(r)丫(仇少日队)Y^(p)

2m2mr

业火（小黑M+叱水⑺…

人2R(r)2丫(仇叫

PrR(a+U(y)R(4-ER(4

2m2mr2y(O,9)

BY（九（P）

-r2回u⑺)

Rr丫（a0）

/忧R(D△丫（。冲）

+2m户(E-U⑺)

R(ny（e，o）一

上2=/(/+1)力2

-r2p^R(r)+2mr2(E-t/(r))7?(r)=l}R(r)

?Y<a(p)=EY〈a(p)

力2+(r2,)R(r)+2mr2(E-U(r))R(r)=fR(r)

尺（外）=及〃/（外）

广丫(49)=/(/+1)%2y(仇0

y（80）=@（e）①（。）

aa呼

—力2[sin夕(sin9))0(8)①(。)+­。(8)①(。)]

80dOd(p

=Z?sir?的(。)①(°)

+2sin。d/.d®,2•2八昆21/①2

h-------(sin0n——)x+£sm6=一力--------二u

&(0)dOdO①沟2z

dd&

力2sin0（sin。）+Z?sin2^刨9）=[6）（。）

d6de

y（a°）=几（e,0）=@加（。）①加（°）

1

im（p

①（（p）=—=e

此夕卜

1①（9）=Z①（9）

匕）（仇叫=LZY（仇总

£z%（人仇。）=4〃『（/，仇9）

L”（r,仇（p,t）=Lzy/（r.

£2%（r,a（p）=£2%（r,9,（P）

£2〃（人"。=£2〃（j仇°,“

Hy/-=Ey/-

人

Hi//=Ei//

方程通解

〃=乙加亿a。）力⑺

〃=&①）九（a。）力⑺

W=RnM。加⑹①加"）£（，）

本征函数

/、-

/（0=Ce力

Rt）=Rnl（r）

y（仇9）='（氏0）=。加（。）①加（°）

1

im（p

①〜（（P）而=—^e

〃尸=〃〃加（尸，夕，°）=此/（尸），（8，°）

本征值

人

1.能量算符H

E_E、

乜_----Yn-1,2,・・・能量量子数

n

能量E确定

2.角动量平方算符Z?

L=-y//(/+1y/rI=0,1,••1,n1角量子数

角动量大小上确定

人

3.角动量分量算符Lz

Lz=m1h-mt=0,±I,---,磁量子数

角动量分量Lz确定

归一化的径向波函数为

RM⑺=N/产尸(_〃+7+1,27+2,2^),

Hi/r=Ey/-

量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中

的粒子，/的三个分量都守性，但由于［不对易，一般说来它们并

不能同时取确定值(角动量/=o的态除外)

人

一2人人人

I皆不显含时间，

又西,n=0,旧,。］=0(a=x,y,z)

所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量庐工/工)

都是守恒量。

角动量算符7="方=-ihrxV=lxex+(4+l:e:

1在直角坐标中的三个分量可表示为

-dd

l=也—z。、,--z-)

xdzdy

人dd

ly=zp-xp=-ih{z---X—)

xzoxdz

人5d

4=xp/v-ypx=/H-i，h(x---y—)