2023年北京房山区高三一模数学试题及答案

2023北京房山高三一模数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A{x|−1x，B={x|0≤x≤，则A=（A）[0（B）[0(−（C）(−（D）2(x−)42（2）在的展开式中，x的系数是x−88（A）（B）（C）4−（D）4（3）已知数列a}对任意nN*满足a+a=a，且a=1，则等于a5nn1n11（A）2（C）4（B）3（D）5π（40x”是“tanx1”的4（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，抛物线C上一点P到点F的距离为3，则点P到原点的距离为（A）2（B）3（C）22（D）23y+1=m(x−与圆(x−2+(y−2=9相交于M，N两点，则|MN|的最小值为（6）已知直线（A）5（B）25（D）64（C）（7）已知函数f(x)同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有f(x)；f(1)②对任意实数x，x，当x1时，都有.121则函数f(x)的解析式可能为f(x)f(x)（A）（B）（C）f(x)x（D）f(x)x1△ABC中，===P△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则（8）在C，ACBC2．为|PA+PB|的最大值为（A）16（C）8（B）10（）4（9）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()St=Se描述血氧0饱和度S(t)随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知SK0S0=60%，给氧小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到190%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（精确到0.1，参考数据：2≈，3≈1.10）（A）0.3（C）（B）0.5（D）（10）如图，已知正方体ABCD，则下列结论中正确的是−1111（A）与三条直线AB，CC，DA所成的角都相等的直线有且仅有一条111（B）与三条直线AB，CC，DA所成的角都相等的平面有且仅有一个111（C）到三条直线AB，CC，DA的距离都相等的点有无数个，且在同一111（D）到三条直线AB，CC，DA的距离都相等的点有无数个，且不同在一条直线上111第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题525分。（）在复平面内，复数z对应点的坐标为(0，则i)z+=．（12）能够说明“设abc是任意实数．若abc，则”是假命题的一组整数abc的值依次为．x2a2y2b2（13）已知双曲线C:−=1的一条渐近线方程为y=3x，则双曲线C的离心率为．b△ABC中，A=2A，2a=b，则A=（14）在；的值为．c|ln|，f(x)=x0，（15）设函数给出下列四个结论：x+4x+x≤2f(x)①函数的值域是R；②a1，方程f(x)=a恰有3个实数根；x0R+，使得；f(−x)−f(x)=000③④若实数xxxx，且f(x)=f(x)=f(x)=f(x)，则(x+x)(x−x)的最大值为12341234123424−.e其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1613分）=+00π)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为．π，（Ⅰ）求值；f(x)（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，确定的解析式．设函数g(x)=f(x)−2sinx，求g(x)的单调增区间．2f(x)f(x)条件①：是偶函数；π条件②：条件③：图象过点(；6(5π0)．f(x)图象的一个对称中心为12注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．（1714分）如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2,AD=22，M为BC的中点.（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBD；（Ⅱ）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（Ⅲ）求点D到平面APM的距离.（1813分）某社区组织了一次公益讲座，向社区居民普及垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：编号1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号正确率讲座前讲座后65%60%70%100%65%75%90%85%90%85%80%95%80%60%85%85%95%100%85%90%（Ⅰ）从公益讲座前的份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，求这份答卷正确率低于%的概率；（Ⅱ）从公益讲座前、后所有正确率不低于%的垃圾分类知识答卷中随机抽取33记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）判断此次公益讲座的宣传效果，并说明你的理由.（1915分）x2a2b2y22已知椭圆E:+1a=()过点B(0，且离心率为b0．2（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；M0)N，O为坐标原点，证明：|ON|为定（Ⅱ）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为值．（2015分）1已知函数f(x)=ax−(a+x−.x（Ⅰ）当a=0时，求曲线f(x)在x=2y=f(x)在点，f处的切线方程；（Ⅱ）若（Ⅲ）求证：当0a1时，关于x的不等式f(x)1在区间e]处取得极值，求f(x)的单调区间；上无解.（2115分）如果数列an}对任意的n*，n+2−n1n1−a，则称a}nn（Ⅰ）判断数列}是否为“速增数列”？说明理由；n（Ⅱ）若数列an}anZa=a=3a=2023，，，12kk（Ⅲ）已知项数为2k(k≥2，kZ)的数列b}nb}的所有项的和等于k．若nc=b，n=，，证明：kk12．nn4参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40（1）C（）A3D（4A（5）D（6）C（）B8D（9B（10）D二、填空题(（共5小题，每小题5分，共251+i−−1（）（12）(答案不唯一)π（13）2（14）215）②③④3三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1613分）2π=π，所以=2.Ⅰ）因为T=（Ⅱ）选择条件①：方法一：因为f(x)=sin(2x+)是偶函数，所以f(0)=1.所以sin=1.π0π，所以=因为.2所以f(x)sin(2x=+)=2x.2g(x)=f(x)−2sin=2cos2x−1.2x=2x−−2x)所以因为y=cosx在−π+22π(kZ)上单调递增，由−π+2π2x2π(kZ)，≤≤π(kZ).解得−+π≤x≤π2π2g(x)−+(kZ).所以的单递增区间为，π方法二：因为f(x)是偶函数，所以对任意xR，都有f(−x)=f(x)，即2x+)=sin(2x+)，π所以2x+=π-(2x+)+2π，解得=+k.2π0π，所以=因为选择条件②：.（以下与选择方法一相同）2ππ6π2因为f(x)图象过点(，所以2+=2π+(kZ)，65π解得=+2π(kZ).6因为0π，所以=，6所以f(x)sin(2x=+6).所以g(x)=f(x)−2sin2x=sin(2x+)−−2x)6=sin2x+2xsin+2x−16633=sin2x+cos2x−12213=3(sin2x+2x)−122=3sin(2x+)−1.3π2π因为y=sinx在−+2，+2π(kZ)上单调递增，2πππ(kZ),由−+2π≤2x+≤+2kπ2325ππ(kZ).解得−+π≤x≤+kπ12125π12πg(x)−++(kZ)，π所以的单调增区间为.12选择条件③：5π0)，所以2+=π(kZ).5π12因为f(x)的一个对称中心为（12π解得=－+π(kZ).6因为0π，所以=.6所以f(x)sin(2x=+6).（以下与选择条件②相同）6（17）ABCDAMABCD，（Ⅰ）证明：（方法一综合法）面，面⊥.△△ABD∽.=在矩形ABCD中，，所以所以所以.BD∩=D.则AOB==.⊥又，AM⊥面PBD.（方法二坐标法）ABCD，PD⊥AD，PD⊥DC面又因为底面ABCD是矩形，AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，，DP为，，z轴建立平面直角坐标系.设2220)，则20)，（0)，2)AM=(−0)==，2，AP（-2）AM⊥DB=0AMBD.ABCD，平面ABCD，AM平面⊥.BD∩=D又，AM⊥PBD平面.-2，AM=(−0).平面ABCD的一个法向量为m001.=()n2x+2y=0设平面APM的法向量为n=(，，z)，则nAP=22x+2z=0x=2n=(2)，取得到则平面ABCD与APM所成角的余弦值为27,n==nm1777（方法二综合法）由面PBDAM⊥PO，ABCD所成角的平面角.是平面与平面43在矩形ABCD中，DO=.3273在直角三角形中，PO=.27平面ABCD与APM所成角的余弦值为cosPOD==.PO7（Ⅲ）（方法一坐标法）0).平面的法向量n=(2).477d==所以点D到平面的距离为.n7237OD=1−cos2POD=1−()2=（方法二综合法）7442477d=sin=1−cos2=1−()2=点D到平面APM的距离为.337（1813分）A为“从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，这份答卷正确率低于80%”.在公益讲座之前，10份垃圾分类知识答卷正确率低于80%的有6人，则63P()==.105（Ⅱ）正确率不低于%的垃圾分类知识答卷有7份，其中讲座前的答卷有2份，X的可能取值为2；3C0C3722C1C374CC2517P(X=0)=2=；P(X==2=；P(X=2)=2=；77C37XXP的分布列为0122741772416E(X)=0+1+2=.7777（Ⅲ）角度一：讲座前答卷正确率的平均值11=(65%+60%+70%+60%+65%+75%+90%+85%+80%+100%)=75%108讲座后答卷正确率的平均值为12=(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+95%)=89%10因为xx，公益讲座后答卷正答率的平均值高于公益讲座前答卷正答率的平均值，公益讲座后社区12居民答题水平提高，所以公益讲座有明显的效果；角度二：平均值变大，且讲座前答卷的方差1s21=[(65%−75%)2+(60%−75%)2+(70%−75%)2+(60%−75%)2+(65%−75%)2+10(75%−75%)2+(90%−75%)+−75%)22+−75%)2+−2]=1.65s22=0.34同理计算讲座后答卷的方差s21s22因为，公益讲座之后社区居民答题正确率的方差小，整体水平高，并且比较集中，所以公益讲座有明显的效果；角度三：公益讲座前答题正确率最小值为%，公益讲座之后答题的正确率最小值为80%，讲座前的极差为：100%-60%=40%，讲座后的极差为：100%-80%=%，讲座后答卷正确率的变化范围比讲座前答卷正确率的变化范围小，公益讲座有效果。（1915分）b=1c2==2，1）由已知可得，解得aa2a2=b2+c2x2所以，椭圆E的方程为+y2=1.2M0)作直线l的垂线为y=0，即此时（2）①当切线l的斜率不存在时，直线l:x=2，过点N(0)或N(−20)，则|ON|=2.②当切线l的斜率为0时，直线l:y，过点M0)作直线l的垂线为x=1N(1，即此时或N−，|ON|=2；③当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ym，=+y=+m联立直线l和椭圆E的方程得x2+y2=1，2y并整理，得2k2+)x2+4kmx+2m−2=0，2消去因为直线l和椭圆E相切，Δ=16k2m2−4(2k2+m2−2)=0，化简并整理，得m2=2k2+1，91y=−(x−因为直线与l垂直，所以直线的方程为，k1−1x==−(−)1−k+myx11+k2联立k，解得，即点（，）.k+m1+k21+k21+k2y=kx+m=y−km)2+(k+m)2k2m2+k2+m2+1(k2+m++k2||2===+k2)2+k2)2)22m2+12k+22===2.1+k21+k2所以，|ON|=2.综上所述，|ON|=2为定值．（2015分）111a=0f(x)=−x−，fx)=−+时，，xxx2f=1，切点−.f=0k=0.，切线斜率y=−1.所以切线方程为f(x)在x=2f=0.处取得极值，所以（Ⅱ）因为a+11因为fx)=a−+，xx2a+1112所以a−+=0，a=.241当a=时，f(x)在x=2处取得极小值.2131x−3x+2(x−x−2)2fx)=−22x+==，x22x22x2fx)=0x=1，或x=2.由，得fx)与f(x)随x的变化情况x(0+(2)120−+fx)f(x)0↗↘↗f(x)的单调递增区间为(0，(2).，单调递减区间为（Ⅲ）证明：“f(x)1在区间，e]f(x)≤1在区间，e]等价于“f(x)在区间，e]上的最大值1”.10a+11(ax−x−fx)=a−+=，xx2x210a1时，由fx)=0x=1，或x=，得当.a1①当≥e时，fx)≤0，函数f(x)在区间，e]上单调递减.a所以f(x)≤f=a−11，不等式f(x)1在区间，e]上无解.1②当<e时，a111x，)(，)aaa−+fx)f(x)0↘极小值↗所以函数f(x)在区间，e]上的最大值为f或f(e).111因为f(e)=ae−(a+−，f(e)−1=a(e−−2−(e−−2−0，eee所以f(e)1，又因为f=a−11，所以，f(x)≤在区间1，e]上恒成立.综上，当0a1时，不等式f(x)1在区间，e]上无解.（2115分）}对nnN*−=−=−=，an+2an+12n+22n12n1，an1an2n，所以(an+2an+1所以，数列}为“速增数列”（Ⅱ）因为数列n}1=，−)−(an+1an)−=2n+1−2n=20nn1a23=aZ．nnN*an+2−an+1an+1−aa−a=2，，21所以，对，n所以，3a23，−≥a−a≥4，a−a≥k，.kk143相加得，(a2a)−+(a−a)+(a−a)++(ak−ak1)≥2+3+，13243(k−k+2)即a−a≥.k12所以4044(kk2)≥−+.6265=4030，6366=4158k63.（Ⅲ）假设，ckck+1≥2.因为n}k，11所以n1−nn+2−n1，b+b+k，12c=b，b=c，c02因为