新教材人教B版数学课后练习4-6-4-7函数的应用（二）数学建模活动生长规律的描述

课后素养落实(九)函数的应用(二)数学建模活动：生长规律的描述(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数D[结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D．]2．某校甲、乙两食堂2020年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知2020年9月份两食堂的营业额又相等，则2020年5月份营业额较高的是()A．甲 B．乙C．甲、乙营业额相等 D．不确定A[设甲以后每个月比前一个月增加相同的营业额a，乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为x,1月份的营业额设为1，由题意得1＋8a＝1×(1＋x)8,5月份甲的营业额为1＋4a,5月份乙的营业额为1×(1＋x)4，即eq\r(1＋8a).因为(1＋4a)2－(1＋8a)＝16a2＞0，所以1＋4a＞eq\r(1＋8a)≈≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年B[若2018年是第一年，则第n年科研经费为1300×n，由1300×n＞2000，可得lg1.3＋nlg1.12＞lg2，得n×0.05＞0.19，n＞3.8，n≥4，即到2021年科研经费超过2000万元．]4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到()A．300只 B．400只C．500只 D．600只A[当x＝1时，y＝100，得a＝100，故当x＝7时，y＝100log28＝300.]5．碳十四是一种具有放射性的同位素，于1940年被首次发现，美国科学家应用碳十四发明了碳十四年代测定法，并获得了1960年的诺贝尔化学奖．已知当生物死亡时，它体内原有的碳十四含量按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间叫做半衰期，据此规律，生物体内碳十四的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为()A．P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t) B．P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5730t)C．P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,5730)) D．P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(5730,t))C[根据大约每经过5730年衰减为原来的一半，生物体内碳十四的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,5730)).]二、填空题6．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．2ln21024[当t＝0.5时，y＝2，∴2＝eeq\s\up12(eq\f(1,2)k)，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.]7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．e6－1[当v＝12000时，2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，∴lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq\f(M,m)＝e6－1．]8．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年它们的数量为________只．300[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)123456h(米)11.31.51.61.7[解]据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解]法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的eq\f(2,3)，过滤n次后杂质含量为eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x).依题意，得eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,20)，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(7)＝eq\f(128,2187)＞eq\f(1,20)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(8)＝eq\f(256,6561)＜eq\f(1,20)，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．法二：接法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，又n∈N*，∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．11．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．yx B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[A选项是一次函数，而沙漠增加值无这种倍数关系，显然不适合；B选项将三点代入，函数值与实际值差的太大，不适合；C选项将x＝1,2,3分别代入得y＝0.2,0.4,0.8，与实际增加值比较接近；D选项将x＝2代入得y＝0.45，将x＝3代入得y≈0.6，与实际值相差太多．]12．(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述，其中正确的是()A．这个指数函数的底数为2B．第5个月时，浮萍面积会超过30mC．浮萍从4m2蔓延到D．若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2，所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2ABD[∵点(1,2)在函数图像上，∴a1＝2，即a＝2，故A正确．∵函数y＝2t在R上为增函数，且当t＝5时，y＝32，故B正确．4对应的t<12.故C不正确；对于D,2＝2x1，3＝2x2，6＝2x3，∴x1＝1，x2＝log23，x3＝log26，又∵1＋log23＝log22＋log23＝log26，∴若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t13．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，所以e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.]14．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝eq\f(2,3)(lgE－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．1000000E1E2.由9.0＝eq\f(2,3)(lgE1－11.4)，得lgE1＝eq\f(3,2)×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lgE2＝eq\f(3,2)×5.0＋11.4＝18.9，从而lgE1－lgE2＝24.9－18.9＝6.故lgE1－lgE2＝lgeq\f(E1,E2)＝6，则eq\f(E1,E2)＝106＝1000000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1000000倍．]15．有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x,x－4)，x>6))描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定