平行四边形的判定证明题课件

平行四边形判定证明题

——分类讲解（无师自通，自学成才）平行四边形判定证明题判定平行四边形共有五种方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形共有五种方法：一、运用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定，证两组对边分别平行。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，

∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AE∥CF，

又CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，

∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AE∥CF，

又CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形．例1如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，又∠3=∠CFB，∴∠2=∠CFB，∴AE∥CF，又CE∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）一、运用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定，证

展开

例2、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.求证：四边形AEFC是平行四边形.证明：∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.∵E是AB的中点，∴BD=CD.∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.∴AB∥CF.∴四边形AEFC是平行四边形.

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

例2、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中练习在□ABCD中，E、F分别为AD、BC上一点，DF∥BE,求证：四边形BEDF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；练习证明：∵四边形ABCD是平行四边形，二、运用判定1“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定，证两组对边分别相等1．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：四边形DBCE是平行四边形．

证明：∵E是AC的中点，

∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）二、运用判定1“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD=BC

∴∠EAD=∠FCB在

△AED和

△CFB中AE=CF

∠EAD=∠FCBAD=BC∴△AED≌△CFB(SAS)∴DE=BF同理可证：BE=DF∴四边形BFDE是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且练习如图所示，四边形ABCD中，AB=CD，∠ADB＝∠CBD＝90°，四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由.

练习三、运用判定2“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”判定，证两组对边分别相等例1、如图，AE、CF分别是

□

ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，又∵∠1=∠DAB，∠2=∠BCD，

∴∠1=∠2，∵AB//CD，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∴∠3=∠4，

∴∠5=∠6，∴四边形AECF是平行四边形．（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）三、运用判定2“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”判定2、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC

＝90°∵AE=

AD，CF=BC，∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.∴∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD.

∴∠BED=∠DFB.

∴∠EBF=∠EDF.∴四边形BFDE是平行四边形.（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）2、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点3.如图，四边形BEDF是平行四边形，延长BF、DE至点C、A，使得BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的角平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形BEDF是平行四边形，

∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF，∵BE、DF分别是∠ABC、

∠ADC的角平分线，∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，

∴∠ABC＝∠ADC，∵DE∥BF，

∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，∴∠AEB＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD，∵∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，

∠C＝180°－∠CDF－∠CFD∴∠A＝∠C，∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

3.如图，四边形BEDF是平行四边形，延长BF、DE至点C、四、运用判定3“对角线互相平分的四边形是平行四边形”

判定，证对角线互相平分。1、如图,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.解：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.

又AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,即EO=FO.∴四边形DEBF是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

四、运用判定3“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定，2.如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G.连接AD，CF.求证：四边形AFCD是平行四边形；证明：∵CD∥AB，

∴∠AFE＝∠CDE，

∵E为AC的中点，

∴AE＝CE，

在△AFE与△CDE中，

∴△AFE≌△CDE(AAS)，

∴EF＝ED，

∴四边形AFCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）2.如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O。求证：O是BD的中点。证明：连接FB、DE，

∵AB=DC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴FD∥BE，又∵AD=BC，AF=CE，

∴FD=BE，∴四边形FBED是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴BO=OD，即O是BD的中点。 3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，练习：1、如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:四边形DEBF是平行四边形.2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于0，E、F分别是0A、0B的中点,求证：四边形BEDF是平行四边形.练习：2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于0，E、F分别五、运用判定4“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定，证一组对边平行且相等例1、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.

又DF=BE,∴△ADF≌△CBE，∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

五、运用判定4“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判2、如图，已知平行四边形ABCD中，E、F

分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C.又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.∴∠1=∠2，DE=BF.∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN

.∵DC∥AB，∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.∴EM

∥FN

.∴四边形ENFM是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

2、如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、C3.如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE，