【解析】山东省临沂市临沂经济技术开发区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

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山东省临沂市临沂经济技术开发区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·禄劝期末）下列二次根式化简后，能与合并的是()

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】＝2，，，

因为、、与的被开方数不相同，不能合并；

化简后C的被开方数与相同，可以合并.

故答案为：C.

【分析】将每个选项的二次根式化成最简二次根式，被开方数与相同的即可合并，据此解答即可.

2．（2023八下·临沂期中）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）

A．2、3、4B．5、5、6C．2、、D．、、

【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】

A、∵22+32=4+9=13≠42，∴A选项不符合题意.

B、∵52+52=25+25=50≠62，∴B选项不符合题意.

C、∵22+=4+3≠，∴C选项不符合题意.

D、∵，∴D选项符合题意.

故选D.

【分析】考查勾股定理的逆定理的掌握，即如果一个三角形满足两条短的边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

3．（2023·广东）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意知：被开方数，

解得：，

故答案为：B．

【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．

4．（2023八下·临沂期中）下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】

A、不是同类二次根式，不能合并.故A选项不符合题意.

B、，故B选项不符合题意.

C、，故C选项不符合题意.

故选D.

【分析】本题考查二次根式的合并、加减、乘除，属于数与式的基本知识.

5．（2023八下·浉河期末）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

A．1米B．米C．2米D．4米

【答案】A

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】如图，过点C作于点F，则米，

由题意得：米，

在中，由勾股定理得：（米），

则（米），

即木马上升的高度为1米，

故答案为：A.

【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得.

6．（2023八下·临沂期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】二次根式的应用

【解析】【解答】由两个正方形的面积分别为16cm2和12cm2，可知他们的边长分别为cm，cm，∴空白部分的长为cm，宽为cm，面积为cm2，故选A.

【分析】由两个正方形的面积得到其边长，再算出空白部分的长和宽，从而解出空白部分的面积.

7．（2023·陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）

A．3B．6C．3D．

【答案】A

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，

∴AB==3，∠CAB=45°，

∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，

∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，

∴∠CAB′=90°，

∴B′C==3，

故答案为：A．

【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=3，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=3.

8．（2023·河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）

A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）

【答案】D

【知识点】坐标与图形变化﹣平移

【解析】【解答】解：∵AD′=AD=2，

AO=AB=1，

∴OD′==，

∵C′D′=2，C′D′∥AB，

∴C（2，），

故选D．

【分析】由已知条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′==，于是得到结论．

9．（2023·澧县模拟）如图，在中，延长至使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接.若，则的长为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，

∵E是AC的中点，

∴EG是△ABC的中位线，

∴EG＝AB＝＝4，

设CD＝x，则EF＝BC＝2x，

∴BG＝CG＝x，

∴EF＝2x＝DG，

∵EF∥CD，

∴四边形EGDF是平行四边形，

∴DF＝EG＝4，

故答案为：B．

【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF＝EG＝4．

10．（2023八下·临沂期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)()

A．5≤a≤12B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13

【答案】D

【知识点】勾股定理；勾股定理的应用

【解析】【解答】当吸管垂直于底面竖直放置的时候，吸管在盒内的部分a最小，即为盒高a=12；当吸管如图斜放的时候，吸管在盒内的部分a最大，∵底面的长为4，宽为3，由勾股定理得底面的对角线长为5，再由直角三角形的直角边5和12，得出斜放时的长度为13，即a的最大值为13，∴12≤a≤13.

故选D.

【分析】要求盒内吸管的长度范围，需要知道怎样放置吸管时，盒内的吸管长度会最短和最长，然后就可以根据勾股定理求出结果.

11．（2023八下·临沂期中）用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【解答】A、作法：分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连接交点与平行四边形的两边交于点A，C，则四边形ABCD为菱形.判定依据：对角线互相垂直平分的四边形为菱形.故A不符合题意.

B、不能判定为菱形，故B符合题意.

C、作法：分别作∠A和∠C的角平分线，交平行四边形的两边为B、D两点，则四边形ABCD为菱形.判定依据：邻边相等的平行四边形是菱形.故C不符合题意.

D、作法：分别以A，C为圆心，适当长为半径画弧，交平行四边形于两点，再以交点为圆心画弧，连接点A与两弧的交点并延长，于平行四边形交于B点，同理得D点.判定依据：邻边相等的平行四边形是菱形.故D选项不符合题意.

故选C.

【分析】结合菱形尺规作图的判断，既考查了尺规作图的基本方法—角平分线、线段的垂直平分线的尺规作图，也考查了对菱形几个判定条件的掌握.

12．（2023八下·召陵期末）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿直线BE折叠后得到，延长BG交CD于点F，若则FD的长为()

A．1B．2C．D．

【答案】B

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴AE=EG，AB=BG，

∴ED=EG，

∵在矩形ABCD中，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠EGF=90°，

连接EF，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=FG，

设DF=x，则BF=3+x，CF=3-x，

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即（2）2+（3-x）2=（3+x）2，

解得：x=2，

即DF=2；

故答案为：B.

【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.

二、填空题

13．（2023八下·临沂期中）当2＜a＜3时，化简：＝．

【答案】2a－5

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】∵2﹤a﹤3，∴a-2﹥0，a-3﹤0，

∴原式=

【分析】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数.

二次根式的性质：①；②.

14．（2023八上·河南月考）如图，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m.一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m.

【答案】13

【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题

【解析】【解答】解：如图所示，

将图展开，图形长度增加2MN，

原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m，

连接AC，

∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，

∴AC＝m，

∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程.

故答案为：13.

【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可.

15．（2023八下·临沂期中）如图，菱形的边长为10，对角线，点E、F分别是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则

【答案】

【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】连接BD，交DB于点O，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵AC=18，

∴AO=9，

∵AB=10，

∴OB2=AB2-AO2=102-92=19，

∴OB=，BD=，

∵E，F为DC，BC的中点，

∴EF=，

∵∠EFC=∠GFB，∠ECF=∠GBF，CF=BF，

∴△EFC≌△GFB，

∴GF=EF=.

【分析】由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，已知菱形其中一条的对角线长和边长，可求出另一条边长，再根据中位线定理，和三角形的全等，继而求出EG的长.

16．（2023八下·临沂期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．

【答案】①②③

【知识点】矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】

①、连接BE，∵EG⊥BC，EF⊥AB，AB⊥BC，∴四边形EFBG是矩形，∴FG＝BE，∵E为正方形ABCD对角线上的点，∴BE＝DE，∴DE＝FG.故①正确，符合题意.

②、延长DE交AB于点M，交FG于点N，∵E为正方形ABCD对角线上的点，∴△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，在Rt△AMD中，∠ADM+∠AMD＝90°，在矩形FBGE中，FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，

∴∠NFM+∠FMN＝∠OBF+∠FMN＝∠ADE+∠FMN＝90°，即DE⊥FG.故②正确，符合题意.

③、由②可知，∠BFG＝FBO＝∠ADE，故③正确，符合题意.

④、当BE⊥AC时，FG＝BE，此时FG最小.∵AB＝4，∴BD＝AC＝，∴FG＝BE＝=.

故④错误，不符合题意.

故选①②③.

【分析】本题主要考查正方形的对称性，由正方形关于对角线对称，可得对角线上的任一点与正方形相对的顶点的连线相等，所组成的图形全等，并结合矩形的对角线互相平分且相等，从而得出相关的结论，本题综合性较强，需要对平行四边形的性质能够熟练的掌握.

三、解答题

17．（2023八下·临沂期中）（1）计算：．

（2）

【答案】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】二次根式的计算是中考的必考内容，而二次根式的性质，化简，混合运算的顺序，包括乘法公式的运用，都需要熟练的掌握，才是解出正确答案的保证.

18．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=2，MN=4，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．

【答案】（1）解：（1）是．

理由：∵AM2+BN2=22+（2）2=16，MN2=42=16，

∴AM2+NB2=MN2，

∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．

故答案为是．

（2）解：设BN=x，则MN=12﹣AM﹣BN=7﹣x，

①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，

即（7﹣x）2=x2+25，解得x=，

②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．

即x2=25+（7﹣x）2，解得x=，

综上所述BN的长为或．

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．（2）设BN=x，则MN=12﹣AM﹣BN=7﹣x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2=MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．

19．（2023八下·临海期中）由于大风，山坡上的一颗甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度.

【答案】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D

由题意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米

在Rt△BCD中米

∴米

在Rt△ACD中米

∴米

∴甲树原来的高度是19米.

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，由题意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米，由勾股定理求出BD，则AD=AB+BD=9米，利用勾股定理求出AC，然后求出AC+AB的值即可.

20．（2023八下·临沂期中）如图，在中，，

（1）求边的长的取值范围？

（2）若是的中线，求取值范围？

【答案】（1）解：由三角形的三边关系可知：，

∵，

∴；

（2）解：延长至E，使，连接，

在中，∵，

∴，

∴，

由三角形的三边关系：，

∴，

∴．

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系

【解析】【分析】三角形的三边关系是三角形中关于边长的问题里考查较多的题型，要熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的知识点，同时，倍长中线法是在三角形或者平行四边形里遇到中线问题时常用的一种方法.

21．（2023八下·临沂期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，点O是EF中点，连结BO井延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG

（1）试求四边形EBFG的形状，说明理由；

（2）求证：BD⊥BG

（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长，

【答案】（1）解：结论：四边形EBFG是矩形.

理由：∵OE=OF，OB=OG，

∴四边形EBFG是平行四边形，

∵∠ABC＝90°即∠CBF=90°，

∴EBFG是矩形.

（2）证明：∵CD=AD，∠ABC＝90°，

∴BD=CD

∴∠C=∠CBD，

同理可得：∠OEB=∠OBE，

∵DF垂直平分AC，即∠EDC=90°，

∴∠C+∠DEC=90°，

∵∠DEC=∠OEB，

∴∠CBD+∠OBE=90°，

∴BD⊥BG.

（3）解：如图：连接AE，

在Rt△ABE中，AB=BE=1，

∴AE=，

∵DF是AC垂直平分线，

∴AE=CE，

∴BC=1+

∵∠CDE=∠CBF=90°，

∴∠C=∠BFE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（AAS）

∴BF=BC，

在Rt△BEF中，BE=1，BF=1+，

∴EF=.

【知识点】垂线；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；矩形的判定

【解析】【分析】本题是三角形与四边形的综合运用，在判定四边形的形状时，需要熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形共同和特有的判定条件，并能结合直角三角形的性质，解决角的度数与数量关系，线段的数量和位置关系等.

22．（2023·滨州）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）证明：由题意可得，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵

∴四边形是菱形

（2）解：∵矩形中，，

∴，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，，

∴，

∴四边形的面积是：

【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）

【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，可得∠BEC=∠BEF，EF=CE.根据两直线平行，内错角相等，可得∠FGE=∠BEF，即得∠FGE=∠FEG，由等角对等边，可得FG=EF，即得FG=EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形CEFG是平行四边形，由CE=EF，即证四边形CEFG是菱形。

（2）根据矩形的矩形的性质及折叠的性质，可得∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，由勾股定理可求AF=8，从而可得DF=2，设，则，在Rt△DEF中，可得22+（6-x）2=x2,求出x的值，即得CE的长，利用平行四边形的面积公式计算即可.

23．（2023八下·临沂期中）如图1，中，，D为上一动点，E为延长线上的动点，始终保持，连接和，以为边作正方形，连接．

（1）请判断四边形的形状，并说明理由；

（2）当时，求的度数；

【答案】（1）解：四边形ABDF是平行四边形，理由如下：

如图，延长交于点M，

∵四边形是正方形，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

又∵，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：

∵，

∴，

∴，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】平行四边形的判定定理从边，角，对角线三个方面去理解，同一道题往往会有不同的证明方法，而平时的练习可以一题多解，会大大提高定理的理解程度，从而能在更短的时间里找到最优解.而在求角的度数时，往往会结合等边三角形、直角三角形、正方形等特殊图形的性质求解.

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山东省临沂市临沂经济技术开发区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·禄劝期末）下列二次根式化简后，能与合并的是()

A．B．C．D．

2．（2023八下·临沂期中）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）

A．2、3、4B．5、5、6C．2、、D．、、

3．（2023·广东）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·临沂期中）下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

5．（2023八下·浉河期末）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

A．1米B．米C．2米D．4米

6．（2023八下·临沂期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A．B．C．D．

7．（2023·陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）

A．3B．6C．3D．

8．（2023·河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）

A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）

9．（2023·澧县模拟）如图，在中，延长至使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接.若，则的长为（）

A．B．C．D．

10．（2023八下·临沂期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)()

A．5≤a≤12B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13

11．（2023八下·临沂期中）用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（）

A．B．

C．D．

12．（2023八下·召陵期末）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿直线BE折叠后得到，延长BG交CD于点F，若则FD的长为()

A．1B．2C．D．

二、填空题

13．（2023八下·临沂期中）当2＜a＜3时，化简：＝．

14．（2023八上·河南月考）如图，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m.一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m.

15．（2023八下·临沂期中）如图，菱形的边长为10，对角线，点E、F分别是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则

16．（2023八下·临沂期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．

三、解答题

17．（2023八下·临沂期中）（1）计算：．

（2）

18．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=2，MN=4，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．

19．（2023八下·临海期中）由于大风，山坡上的一颗甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度.

20．（2023八下·临沂期中）如图，在中，，

（1）求边的长的取值范围？

（2）若是的中线，求取值范围？

21．（2023八下·临沂期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，点O是EF中点，连结BO井延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG

（1）试求四边形EBFG的形状，说明理由；

（2）求证：BD⊥BG

（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长，

22．（2023·滨州）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

23．（2023八下·临沂期中）如图1，中，，D为上一动点，E为延长线上的动点，始终保持，连接和，以为边作正方形，连接．

（1）请判断四边形的形状，并说明理由；

（2）当时，求的度数；

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】最简二次根式；同类二次根式

【解析】【解答】＝2，，，

因为、、与的被开方数不相同，不能合并；

化简后C的被开方数与相同，可以合并.

故答案为：C.

【分析】将每个选项的二次根式化成最简二次根式，被开方数与相同的即可合并，据此解答即可.

2．【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】

A、∵22+32=4+9=13≠42，∴A选项不符合题意.

B、∵52+52=25+25=50≠62，∴B选项不符合题意.

C、∵22+=4+3≠，∴C选项不符合题意.

D、∵，∴D选项符合题意.

故选D.

【分析】考查勾股定理的逆定理的掌握，即如果一个三角形满足两条短的边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

3．【答案】B

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意知：被开方数，

解得：，

故答案为：B．

【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．

4．【答案】D

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】

A、不是同类二次根式，不能合并.故A选项不符合题意.

B、，故B选项不符合题意.

C、，故C选项不符合题意.

故选D.

【分析】本题考查二次根式的合并、加减、乘除，属于数与式的基本知识.

5．【答案】A

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】如图，过点C作于点F，则米，

由题意得：米，

在中，由勾股定理得：（米），

则（米），

即木马上升的高度为1米，

故答案为：A.

【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得.

6．【答案】A

【知识点】二次根式的应用

【解析】【解答】由两个正方形的面积分别为16cm2和12cm2，可知他们的边长分别为cm，cm，∴空白部分的长为cm，宽为cm，面积为cm2，故选A.

【分析】由两个正方形的面积得到其边长，再算出空白部分的长和宽，从而解出空白部分的面积.

7．【答案】A

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，

∴AB==3，∠CAB=45°，

∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，

∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，

∴∠CAB′=90°，

∴B′C==3，

故答案为：A．

【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=3，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=3.

8．【答案】D

【知识点】坐标与图形变化﹣平移

【解析】【解答】解：∵AD′=AD=2，

AO=AB=1，

∴OD′==，

∵C′D′=2，C′D′∥AB，

∴C（2，），

故选D．

【分析】由已知条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′==，于是得到结论．

9．【答案】B

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，

∵E是AC的中点，

∴EG是△ABC的中位线，

∴EG＝AB＝＝4，

设CD＝x，则EF＝BC＝2x，

∴BG＝CG＝x，

∴EF＝2x＝DG，

∵EF∥CD，

∴四边形EGDF是平行四边形，

∴DF＝EG＝4，

故答案为：B．

【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF＝EG＝4．

10．【答案】D

【知识点】勾股定理；勾股定理的应用

【解析】【解答】当吸管垂直于底面竖直放置的时候，吸管在盒内的部分a最小，即为盒高a=12；当吸管如图斜放的时候，吸管在盒内的部分a最大，∵底面的长为4，宽为3，由勾股定理得底面的对角线长为5，再由直角三角形的直角边5和12，得出斜放时的长度为13，即a的最大值为13，∴12≤a≤13.

故选D.

【分析】要求盒内吸管的长度范围，需要知道怎样放置吸管时，盒内的吸管长度会最短和最长，然后就可以根据勾股定理求出结果.

11．【答案】C

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【解答】A、作法：分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连接交点与平行四边形的两边交于点A，C，则四边形ABCD为菱形.判定依据：对角线互相垂直平分的四边形为菱形.故A不符合题意.

B、不能判定为菱形，故B符合题意.

C、作法：分别作∠A和∠C的角平分线，交平行四边形的两边为B、D两点，则四边形ABCD为菱形.判定依据：邻边相等的平行四边形是菱形.故C不符合题意.

D、作法：分别以A，C为圆心，适当长为半径画弧，交平行四边形于两点，再以交点为圆心画弧，连接点A与两弧的交点并延长，于平行四边形交于B点，同理得D点.判定依据：邻边相等的平行四边形是菱形.故D选项不符合题意.

故选C.

【分析】结合菱形尺规作图的判断，既考查了尺规作图的基本方法—角平分线、线段的垂直平分线的尺规作图，也考查了对菱形几个判定条件的掌握.

12．【答案】B

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴AE=EG，AB=BG，

∴ED=EG，

∵在矩形ABCD中，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠EGF=90°，

连接EF，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=FG，

设DF=x，则BF=3+x，CF=3-x，

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即（2）2+（3-x）2=（3+x）2，

解得：x=2，

即DF=2；

故答案为：B.

【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.

13．【答案】2a－5

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】∵2﹤a﹤3，∴a-2﹥0，a-3﹤0，

∴原式=

【分析】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数.

二次根式的性质：①；②.

14．【答案】13

【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题

【解析】【解答】解：如图所示，

将图展开，图形长度增加2MN，

原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m，

连接AC，

∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，

∴AC＝m，

∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程.

故答案为：13.

【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可.

15．【答案】

【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】连接BD，交DB于点O，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵AC=18，

∴AO=9，

∵AB=10，

∴OB2=AB2-AO2=102-92=19，

∴OB=，BD=，

∵E，F为DC，BC的中点，

∴EF=，

∵∠EFC=∠GFB，∠ECF=∠GBF，CF=BF，

∴△EFC≌△GFB，

∴GF=EF=.

【分析】由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，已知菱形其中一条的对角线长和边长，可求出另一条边长，再根据中位线定理，和三角形的全等，继而求出EG的长.

16．【答案】①②③

【知识点】矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】

①、连接BE，∵EG⊥BC，EF⊥AB，AB⊥BC，∴四边形EFBG是矩形，∴FG＝BE，∵E为正方形ABCD对角线上的点，∴BE＝DE，∴DE＝FG.故①正确，符合题意.

②、延长DE交AB于点M，交FG于点N，∵E为正方形ABCD对角线上的点，∴△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，在Rt△AMD中，∠ADM+∠AMD＝90°，在矩形FBGE中，FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，

∴∠NFM+∠FMN＝∠OBF+∠FMN＝∠ADE+∠FMN＝90°，即DE⊥FG.故②正确，符合题意.

③、由②可知，∠BFG＝FBO＝∠ADE，故③正确，符合题意.

④、当BE⊥AC时，FG＝BE，此时FG最小.∵AB＝4，∴BD＝AC＝，∴FG＝BE＝=.

故④错误，不符合题意.

故选①②③.

【分析】本题主要考查正方形的对称性，由正方形关于对角线对称，可得对角线上的任一点与正方形相对的顶点的连线相等，所组成的图形全等，并结合矩形的对角线互相平分且相等，从而得出相关的结论，本题综合性较强，需要对平行四边形的性质能够熟练的掌握.

17．【答案】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】二次根式的计算是中考的必考内容，而二次根式的性质，化简，混合运算的顺序，包括乘法公式的运用，都需要熟练的掌握，才是解出正确答案的保证.

18．【答案】（1）解：（1）是．

理由：∵AM2+BN2=22+（2）2=16，MN2=42=16，

∴AM2+NB2=MN2，

∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．

故答案为是．

（2）解：设BN=x，则MN=12﹣AM﹣BN=7﹣x，

①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，

即（7﹣x）2=x2+25，解得x=，

②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．

即x2=25+（7﹣x）2，解得x=，

综上所述BN的长为或．

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．（2）设BN=x，则MN=12﹣AM﹣BN=7﹣x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2=MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．

19．【答案】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D

由题意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米

在Rt△BCD中米

∴米

在Rt△ACD中米

∴米