七年级数学上册培优专题01 借助数轴将数与形结合-解析版

/培优专题01借助数轴将数与形结合【专题精讲】在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面：(1)利用数轴能形象地表示有理数；(2)利用数轴能直观地解释相反数;(3)利用数轴比较有理数的大小;(4)利用数轴解决与绝对值相关的问题;(5)巧用数轴可以探究动点的规律;(6)应用数轴解决行程问题◎类型一：利用数轴比较有理数的大小解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数表示在数轴上,由相对位置得出大小.1．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）在数轴上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来．【答案】数轴见解析，-3＜-1＜-＜0＜2.5＜3.5【分析】先分别把各数在数轴上找出对应的点，再按从左到右的顺序排列即可．【详解】解：在数轴上表示出来如图所示．根据这些点在数轴上的排列顺序，从左至右分别用“＜”连接为：-3＜-1＜-＜0＜2.5＜3.5．【点睛】本题考查了数轴，利用数轴比较有理数的大小，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2．（2021·江苏盐城·七年级期中）已知一组数：

，

0，

－3.5，

3，

．(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．．【答案】(1)见解析(2)﹣3.5<<0<<3【分析】（1）将数准确在数轴上表示出来，注意正负号；（2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可．（1）解：如图所示，；（2）顺序为：．【点睛】本题主要考查的是数轴表示数，重点在于准确将数在数轴上表示出来，注意符号．3．（2021·辽宁·彰武县第三初级中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：，并用“<”把这些数连接起来．【答案】数轴上表示各数见解析；【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可．【详解】解：如图所示：用“<”符号连接为：．【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题的关键．4．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”号连接．【答案】见解析，【分析】根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的数；数轴正方向朝右，右边的数总比左边的大，并用“<”号连接起来即可．【详解】如图所示：根据上图可知：．【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题关键．◎类型二：利用数轴表示相反数、绝对值解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。5．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8(1)写出点A和点B表示的数；(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．【答案】(1)A表示-3，B表示3(2)-6.5(3)1【分析】(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的数减去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即可得到答案．（1）∵A对应刻度2，B对应刻度8，∴，∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，∴A表示-3，B表示3；（2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，∴C表示的数为；（3）因为点D到A的距离为2，所以点D表示的数为-1和-5．因为点D到B的距离为4，所以点D表示的数为-1和7．综上，点D表示的数为-1．所以点D关于原点对称的点表示的数为1．【点睛】此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律是解题的关键．6．（2021·全国·七年级专题练习）如图．在一条不完整的数轴上一动点A向左移动5个单位长度到达点B，再向右移动9个单位长度到达点C．（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；（2）若点C表示的数为6，求点B、点A表示的数；（3）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数．【答案】（1）﹣5，4；（2）﹣3，2；（3）-7．【分析】（1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数；（2）依据点C表示的数为6，利用两点间距离公式，可得点B、点A表示的数；（3）依据点A、C表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点B表示的数．【详解】解：（1）若点A表示的数为0，∵0﹣5=﹣5，∴点B表示的数为﹣5，∵﹣5+9=4，∴点C表示的数为4；（2）若点C表示的数为6，∵6﹣9=﹣3，∴点B表示的数为﹣3，∵﹣3+5=2，∴点A表示的数为2；（3）若点A、C表示的数互为相反数，∵AC=9﹣5=4，∴点A表示的数为﹣2，∵﹣2﹣5=﹣7，∴点B表示的数为﹣7．【点睛】本题考查了数轴和有理数的运算、数轴上两点间距离等，解题的关键是能根据题意列出算式．7．（2022·江苏·七年级专题练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．(1)在数轴上表示出a的相反数的位置．(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？(3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？【答案】(1)数轴表示见解析；(2)a表示的数是﹣10；(3)b表示的数是5或15【分析】（1）根据相反数的定义在数轴上表示出来即可；（2）根据题意列出方程，求出方程的解即可；（3）分为两种情况，列出算式，求出即可．(1)解：如图：．(2)解：根据题意可列式，﹣a﹣a＝20，解得a＝﹣10．即a表示的数是﹣10．(3)解：∵﹣a＝10，当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15，当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5，∴b表示的数是5或15．【点睛】本题考查了数轴，相反数，数轴上两点间的距离的应用，解题的关键是能根据题意列出算式和方程．8．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在一条不完整的数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C．（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；（2）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数.【答案】（1）点B表示的数为−4，点C表示的数为3；（2）点B表示的数为−5.5.【分析】（1）根据点A表示的数为0，利用数轴的特点，可得点B、点C表示的数；（2）求出AC，根据点A、C表示的数互为相反数，可得点A表示的数，然后再求点B表示的数.【详解】解：（1）若点A表示的数为0，∵0−4＝−4，∴点B表示的数为−4，∵−4＋7＝3，∴点C表示的数为3；（2）若点A、C表示的数互为相反数，∵AC＝7−4＝3，∴点A表示的数为−1.5，∵−1.5−4＝−5.5，∴点B表示的数为−5.5.【点睛】本题考查了数轴以及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较基础的题目．◎类型三：利用数轴求整数点个数问题解题方法：数轴上整数对应的点便是整数点,确定区间内整数点的个数,先要明确区间内的最大整数与最小整数,再通过计算得到结果.9．（2021·黑龙江鸡西·七年级期末）在数轴上位于-3和3之间（不包括-3和3）的整数点有（

）A．7个 B．5个 C．4个 D．无数个【答案】B【分析】先列举出-3和3之间（不包括-3和3）的整数，然后再统计即可．【详解】解：-3和3之间（不包括-3和3）的整数有：-2，-1,0,1,2，共5个．故选B．【点睛】本题主要考查了再数轴上表示有理数，正确列举出符合题意得整数是解答本题的关键．10．（2018·天津·南开中学七年级阶段练习）在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（

）A．1998 B．1999 C．2000 D．2001【答案】D【分析】把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点记作0，再进行计算即可．【详解】解：把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2000，因而共有从0到2000共有2001个数．故选：D．【点睛】此题主要考查了数轴上的点与实数的对应关系，能够理解什么情况最多是解决本题的关键．11．（2019·四川·三台博强外国语学校七年级阶段练习）数轴上从-3.9到它的相反数有a个整数点，则a个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖（

）个整数点.A．8 B．7 C．6 D．4【答案】C【分析】根据数轴，以及相反数的定义，即可得到答案.【详解】解：∵的相反数是，∵与之间有7个整数点，∴，∴7个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖6个整数点；故选择：C.【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握在数轴表示的数.12．（2014·湖北黄冈·七年级期中）在数轴上表示整数的点称为整数点,某数轴的单位长度是1㎝，若在这个数轴上随意画出一条长2015㎝的线段AB，则被线段AB盖住的整数有（

）A．2012个或2013个 B．2013个或2014个C．2014个或2015个 D．2015个或2016个【答案】D【详解】试题分析：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2016个数；②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2015个数．故选D．考点：数轴．◎类型四：应用数轴解决行程问题解题方法：点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动a个单位长度看作+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行程问题的相遇公式即可解决。13．（2019·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足．（1）求的值；（2）若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数_______表示的点重合；（3）点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为①当时，求点表示的有理数；②当点表示的有理数与点的距离为个单位长度时，直接写出所有满足条件的值．【答案】（1），，；（2）10；（3）①2,②14秒或16秒【分析】（1）根据可得，，从而得出a，c的值，再根据b是最小的正整数，得出b的值即可；（2）根据B、C重合，计算出数轴沿着数4对折，再根据点A与数4之间的距离计算出与点A重合的数；（3）①根据时间计算出点P的运动方向及长度即可；②对点P的位置进行分类讨论，一是当点P在点B的右侧1个单位时，二是当点P在点B左侧1个单位时，分别计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，b是最小的正整数，∴，∴，，（2）∵，∴若B、C重合，则数轴沿着数4对折，∴，∴点A与数10重合，故答案为：10（3）∵AC的长度为，∴当时，点P已到达点C，并向点A运动了14-9=5（秒）∴此时点P表示的数为：7-5=2，∴当时，点表示的有理数是2②当点P在点B的右侧1个单位时，∵从A到C需要9秒，所以此时在点B右侧1个单位时，时间为9+（7-1）-1=14（秒）当点P在点B左侧1个单位时，时间为9+（7-1）+1=16（秒）故答案为：14秒或16秒．【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数，以及数轴上动点问题，解题的关键是熟知数轴上数的表示方法．14．（2022·福建·福州教院二附中七年级期末）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时，【答案】(1)A对应的数为-10，B对应的数为2(2)①表示的数是，表示的数是；②当秒或秒时．【分析】（1）根据点C对应的数为，有OC=6，根据BC=4，可得OB=OC-BC=6-4=2，即点B表示的数是2；根据，可得OA=10，即问题得解；（2）①根据动点P、Q运动特点可得，，根据M为的中点，，可得，，结合A对应的数为-10，C表示的数是6，即可求解；②根据（1）中，表示的数，即可得，，即有，结合，可得，即可作答．（1）∵点C对应的数为，∴OC=6，∵，∴OB=OC-BC=6-4=2，∴点B表示的数是2，∵，∴OA=AB-OB=12-2=10，∴根据点A在O点左侧，可得点A表示的数是-10，即A对应的数为-10，B对应的数为2；（2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒个单位和个单位的速度，时间是，∴，，∵M为的中点，在上，且，∴，，∵A对应的数为-10，C表示的数是6，∴表示的数是，表示的数是；②∵表示的数是，∴，∵表示的数是，∴，∵B对应的数为2，∴OB=2，∴，∵，∴，当时，得，当时，得，故当秒或秒时．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，得出是解答本题的关键．15．（2022·全国·七年级专题练习）综合与探究阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或．问题解决：如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2，．填空：(1)A，B两点之间的距离为_______；(2)点C为数轴上一点，在点A的左侧，且，则点C表示的数是_______；(3)拓展应用：在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（），当t为何值时，P，C两点之间的距离为12个单位长度？【答案】(1)7(2)(3)或9秒时，P，C两点之间的距离为12个单位长度【分析】(1)根据公式计算即可．(2)设C表示的数为，根据公式AC=|2-|=6，计算后，结合定C的位置确定答案即可．(3)解答时，分点P向左运动和向右运动两种情况求解．（1）∵数轴上的点A，B分别表示有理数2，，∴AB=|-5-2|=7，故答案为：7．（2）设C表示的数为，根据题意，得AC=|2-|=6，∴2-=6或2-=-6，解得=-4或=8，∵点C在点A的左侧，∴＜，∴=-4，故答案为：-4．（3）①当点P向右运动时，点P表示的数为2+2t，根据题意，得，解这个方程，得；②当点P向左运动时，点P表示的数为2-2t，根据题意，得，解这个方程，得，故当或9秒时，P，C两点之间的距离为12个单位长度．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，分类思想，熟练掌握公式，正确理解距离的意义是解题的关键．16．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上有三点，，分别表示有理数，，，动点从点出发，以个单位长度的速度向终点移动，设点移动时间为．（1）用含的代数式表示点分别到点和点的距离：______，______．（2）当点运动到点时，点从点出发，以个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当点运动到点时，两点运动停止．当点，运动停止时，求点，间的距离．【答案】（1），；（2）24【分析】（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；（2）先求得点从点到点的时间，进而求得点运动的路程，根据题意确定的位置，进而求得的距离【详解】（1），故答案为：，；（2）解：点从点到点的时间为点运动的路程为点，距离为答：点，距离为【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．【巩固训练】1．（2020·广东东莞·一模）如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是﹣3和3，则点B所表示的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【答案】D【分析】先求出AC、AB的长，再根据A、B的位置即可求得点B所表示的数．【详解】由题意得：，∵，∴，又∵点B在点A的右边，且点A所表示的数是，∴点B所表示的数为，故选：D．【点睛】本题考查了数轴的定义，掌握理解数轴的定义是解题关键．2．（2020·山西太原·七年级期末）如图，数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且．若，两点所表示的数分别是和，则线段的中点所表示的数是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先设出，根据表示出、，求出线段的长度，即可得出答案．【详解】解：设，，，，，，两点所表示的数分别是和6，，解得：，，，，两点所表示的数分别是和6，线段的中点表示的数是2．故选：A．【点睛】题目考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，考查学生对数轴知识的掌握情况，题目难易程度适中，适合学生课后训练．3．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”号连接．【答案】见解析，【分析】根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的数；数轴正方向朝右，右边的数总比左边的大，并用“<”号连接起来即可．【详解】如图所示：根据上图可知：．【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题关键．4．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）先以1厘米长为一个单位长度画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”把这些数按从小到大的顺序排列起来：．排列：______________________________．【答案】，数轴见解析【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴左边的数小于右边的数排列即可求解．【详解】如图，数轴上画出表示的点，排列：，故答案为．【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键．5．（2020·河南新乡·七年级阶段练习）已知有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度，互为相反数，且都不为零，互为倒数．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）或0【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；（2）根据相反数、倒数的性质算出相对应的值，带入求解即可；【详解】（1）因为有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度所以,的值为;（2）由题意可知:，所以,，，，，当时,原式；当时,原式；综上所述,的值为或0．【点睛】本题主要考查了相反数、绝对值、倒数的性质，准确计算是解题的关键．6．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析【详解】【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；（3）如图所示：故答案为：B；C．7．（2022·江苏·七年级单元测