导数的综合应用课件

要点梳理1.曲线的切线方程点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0))

处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为_____________________.2.函数的单调性

(1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便,

但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:基础知识自主学习§3.4导数的综合应用y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)基础知识自主学习§3.4导数的综合应用y-f(x0)①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是______;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是_______.还可以通过列表,写出函数的单调区间.(2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续,则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.增函数减函数①确定函数f(x)的定义域;增函数减函数3.函数的极值求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程________的根→检验f′(x)

在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则

f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这个根处取极小值).4.函数的最值求可导函数在［a,b］上的最值的步骤求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和_____的大小.f′(x)=0极值3.函数的极值f′(x)=0极值5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤基础自测1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为()A.-1B.1C.-2D.2

解析A基础自测A2.函数f(x)=xcosx的导函数f′(x)在区间[-π,π]

上的图象大致是()

解析∵f(x)=xcosx,∴f′(x)=cosx-xsinx.∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而

f′(1)=cos1-sin1<0,从而观察图象即可得到答案为A.A2.函数f(x)=xcosx的导函数f′(x)在区间[-π3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列

(n∈N*)的前n项和为()

解析∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1∴f(x)=x2+x∴f(n)=n2+n=n(n+1)

C3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子中一定成立的关系式是()A.f(a)<f(b)B.f(a+1)>f(b-)C.f(a+1)>f(b-1)D.f(a+1)>f(b-)

解析因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,

故f(a+1)>f(b-),故选B.B4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间5.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式

f′(x)≤0的解集为__________.

解析由函数y=f(x)在定义域内的图象可得,函数y=f′(x)的大致图象如图所示.由图象可得不等式f′(x)≤0的解集为5.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如题型一函数的极值与导数

【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

(1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.题型分类深度剖析思维启迪题型分类深度剖析思维启迪解

(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3.①由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称,所以所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).解(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),令f′(x)=0得x=0或x=2.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:由此可得:当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;x

(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),x(-∞,0)当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;当a=1或a≥3时,f(x)无极值.(1)注意体会求函数极值的基本步骤,列表可使解题过程更加清晰规范.(2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参数a进行讨论.探究提高当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2知能迁移1已知函数

(a为常数),求函数f(x)的极值.

解由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},①当a>0时,由f′(x)=0,得当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

知能迁移1已知函数导数的综合应用ppt课件题型二函数的最值与导数【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

(1)研究函数f(x)在[－1,2]上的单调性;(2)确定f(x)在[－1,2]上的最大、最小值；

(3)列方程组求a、b.

解由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax

＝3ax(x－4)．当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2]

上取最大值3,最小值－29.思维启迪题型二函数的最值与导数思维启迪当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间[－1,2]上,当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间当a<0,令f′(x)＝0得x1＝0,x2＝4在区间[－1,2]上,x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)－－0＋＋f(x)－7a＋b

极小值b

－16a＋b当a<0,令f′(x)＝0得x1＝0,x2＝4在区间[－1,导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导数的综合应用ppt课件导