正项级数的审敛法课件

一、正项级数及其审敛法§1.3正项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法§1.3正项级数的审敛法上页下页铃结一、正项级数及其审敛法

正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.

正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.

这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.

下页定理1(正项级数收敛的充要条件)

一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要定理2(比较审敛法)

定理3

下页定理2(比较审敛法)定理3下页仅就un

vn

(n

1,2,

)的情形证明.

简要证明

因此级数∑un收敛.即部分和数列{sn}有界.

v1

v2

vn

s(n

1,2,

),sn

u1

u2

un则级数∑un的部分和

设级数∑vn收敛,其和为s,

反之,若级数∑un发散,则级数∑vn必发散.由已证结论,级数∑un也收敛,矛盾.

这是因为如果级数∑vn收敛,定理2(比较审敛法)

仅就unvn(n1,2,)的情形证明.

解

下页定理2(比较审敛法)

设∑un和∑vn都是正项级数,且un

kvn(k>0,

n

N).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.解下页定理2(比较审敛法)将级数改写成2)若当p>1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部分和σn有界，从而p-级数的部分和sn满足也即sn有界，由定理结论知，当p>1时，p-级数收敛。将级数改写成2)若当p>1时，上式中的最后一个级数是收敛的

设∑un和∑vn都是正项级数,且un

kvn(k>0,

n

N).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p

级数的收敛性

证

下页定理2(比较审敛法)

设∑un和∑vn都是正项级数,且unkv调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较例：提示：调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切例：提示：调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个

简要证明

当n>N时,有不等式再根据比较审敛法,即得所要证的结论.

(1)如果lvunnn=¥®lim(0£l<+¥),

且å¥=1nnv收敛,

则å¥=1nnu收敛;

(2)如果lvunnn=¥®lim(0<l£+¥),

且å¥=1nnv发散,

则å¥=1nnu发散.

定理4(比较审敛法的极限形式)简要证明当n>N时,有不等式再根据比定理4(比较审敛法的极限形式)下页

解

级数å¥=11sinnn也发散.

(1)如果lvunnn=¥®lim(0<l<+¥),

且å¥=1nnv收敛,

则å¥=1nnu收敛;

(3)如果lvunnn=¥®lim(0<l£+¥),

且å¥=1nnv发散,

则å¥=1nnu发散.

(2)如果0,vunnn=¥®lim

且å¥=1nnv收敛,

则å¥=1nnu收敛;

定理4(比较审敛法的极限形式)下页解级下页定理4(比较审敛法的极限形式)例3解:

(1)如果lvunnn=¥®lim(0£l<+¥),

且å¥=1nnv收敛,

则å¥=1nnu收敛;

(3)如果lvunnn=¥®lim(0<l£+¥),

且å¥=1nnv发散,

则å¥=1nnu发散.

下页定理4(比较审敛法的极限形式)例3解:(1)如下页定理5(极限审敛法)例4解:下页定理5(极限审敛法)例4解:设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.思考：设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛设级数收敛,能否推出收敛?提示:思考：则级数收敛,且其和s

u1,其余项rn的绝对值|rn|

un

1.定理(莱布尼茨（Leibnitz）定理)设级数收敛,能否推出收敛?提示:思考：则级数收敛,且其这是一个交错级数.

解

由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s<u1

1,首页则级数收敛,且其和s

u1,其余项rn的绝对值|rn|

un

1.定理7(莱布尼茨（Leibnitz）定理)因为此级数满足

例5这是一个交错级数.解由莱布尼茨定理,1.

判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.(2)发散,故原级数发散.1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散下页定理8(比值审敛法

达朗贝尔审敛法)证明：下页定理8(比值审敛法达朗贝尔审敛法)证明：正项级数的审敛法ppt课件正项级数的审敛法ppt课件提示:思考：提示:思考：提示:思考：提示:思考：

例10

解：例10解：下页定理9(根值审敛法

柯西判别法)所以

根据根值审敛法可知所给级数收敛

因为

解

下页定理9(根值审敛法柯西判别法)所以根据根值所以

根据根值审敛法可知所给级数收敛

因为

解

下页定理9(根值审敛法

柯西判别法)所以根据根值审