无穷级数的重排课件

众所周知，条件收敛级数各项的先后次序重新排列后，级数的和及收敛性都可能改变。简单地说：条件收敛级数不满足交换律。本课件利用数学软件Maple来求交错调和级数经过重排后的一些级数的和。1众所周知，条件收敛级数各项的先后次序重新排列先来看级数绝对收敛与条件收敛的区别2先来看级数2绝对收敛与条件收敛有何区别？定理9绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。（绝对收敛级数的交换律）绝对收敛级数的收敛是绝对的（Absolutely），它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项的位置而产生任何变化。3绝对收敛与条件收敛有何区别？定理9（绝对收敛级数的交换律）

条件收敛级数不满足交换律条件收敛级数的收敛性及其和都与级数中各项的位置有关。因此条件收敛级数的收敛性及其和是有条件的（conditionally）：不能打乱原级数的各项之间的先后次序，否则可能会改变级数的和，甚至改变其收敛性。当然，只改变有限项的位置，不会对级数造成任何变化。4条件收敛级数不满足交换律4例如是条件收敛级数在以上顺序下（一正一负），级数收敛，和为ln2。现在，我们按照“一正二负”重新排列各项的顺序，得一新的级数：5例如是条件收敛级数现在，我们按照“一正二收敛级数可以加括号还是那些数相加，但结果减少一半！级数性质6收敛级数可以加括号还是那些数相加，但结果减少一半！级数性质6数学家黎曼证明了一个更令人吃惊的结论：条件收敛级数的各项重排后，级数可以收敛于任何一个实数，也可以使其发散！黎曼Riemann德国数学家1826-18667数学家黎曼证明了一个更令人吃惊的结论：黎曼R交错调和级数的重排级数的计算由数学软件Maple完成8交错调和级数的重排8实验表明：若将交错调和级数负项（正项）提前，就可以使级数的和减小（增大）。9实验表明：若将交错调和级数负项（正项）提前，就可以使级数的和先看一正m负的情形10先看一正m负的情形10一正一负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);11一正一负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(2*n);1一正二负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(4*n-2)-1/(4*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);12一正二负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(4*n-2)一正三负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(6*n-4)-1/(6*n-2)-1/(6*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);13一正三负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(6*n-4)一正四负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(8*n-6)-1/(8*n-4)-1/(8*n-2)-1/(8*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);14一正四负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(8*n-6)一正五负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(10*n-8)-1/(10*n-6)-1/(10*n-4)-1/(10*n-2)-1/(10*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);15一正五负：a:=n->1/(2*n-1)-1/(10*n-8一正m负：m:=8:a:=n->1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0..m-1);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity):evalf(%);即16一正m负：m:=8:即16一正八负：m=8m:=8:a:=n->1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0..m-1);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);17一正八负：m=8m:=8:17一正15负：m=15m:=15:a:=n->1/(2*n-1)-sum(1/(2*m*n-2*k),k=0..m-1);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity):evalf(%);18一正15负：m=15m:=15:18再看m正一负的情形19再看m正一负的情形19二正一负：a:=n->1/(4*n-3)+1/(4*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);

evalf(%);20二正一负：a:=n->1/(4*n-3)+1/(4*n-1)三正一负：a:=n->1/(6*n-5)+1/(6*n-3)+1/(6*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);

evalf(%);21三正一负：a:=n->1/(6*n-5)+1/(6*n-3)四正一负：a:=n->1/(8*n-7)+1/(8*n-5)+1/(8*n-3)+1/(8*n-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);22四正一负：a:=n->1/(8*n-7)+1/(8*n-5)m正一负：m:=8:a:=n->sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0..m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);23m正一负：m:=8:238正一负：m:=8:a:=n->sum(1/(2*m*n-2*k-1),k=0..m-1)-1/(2*n);Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);evalf(%);248正一负：m:=8:2415正一负：m:=15: