概率论第二章课件

第一节随机变量第二节离散型随机变量的概率分布第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量的概率密度第五节随机变量函数的分布第二章随机变量及其分布8/14/20231第一节随机变量第二节离散型随机变量的概率分布第三节随机

动机：将随机试验的结果数量化

例1抛一枚硬币，观察正反面的出现情况，，如果我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：第一节随机变量则，我们就可以用表示出现的是正面，而用表示出现的是反面。8/14/20232动机：将随机试验的结果数量化例1抛一枚硬币就是一个随机变量。

定义

设随机试验的样本空间为如果对于每一个都有一个实数与其对应，这样就得到一个定义在上的一个单值实函数我们称该函数为随机变量。一般的，随机变量用英文字母表后面的大写字母或者希腊字母（可以带下标）表示。如等，都可以表示随机变量。8/14/20233就是一个随机变量。定义设随机试验的样本空间为如果对

引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的取值来表示.

随机变量的取值随试验的结果而定,因此试验之前,我们只知道它可能取值的范围,而不能预知它取什么值,由于试验的各个结果的出现有一定的概率,因此随机变量取各个值也有一定的概率.如果我们用表示某台电视机的寿命,并且规定寿命超过10000小时者为合格品,则该电视机为合格品这一事件就可以表示为如果用表示某位同学大学英语四级考试的成绩,则表示“该同学通过考试”这一事件，而表示“该同学成绩优秀”这一事件.8/14/20234引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的第二节离散型随机变量及其分布律如果随机变量只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量为离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？设随机变量的可能取值为，且（1）则称（1）式为的概率分布或分布律.8/14/20235第二节离散型随机变量及其分布律如果随机变量只取分布律（1）也常常写成如下的表格形式.显然有：或者也可以表示为8/14/20236分布律（1）也常常写成如下的表格形式.显然有：或者也

例1掷一颗匀称的骰子，以表示出现的点数，求的分布律.解的可能取值为而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6，故其分布律为8/14/20237例1掷一颗匀称的骰子，以表示出现的点数，求

例２设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏灯,每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各盏信号灯的工作是相互独立的），求其分布律。

解

以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为将代入，得8/14/20238例２设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏灯,每盏信号灯以下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）0-1分布若的分布律为或者

01

则称随机变量服从参数为p的0-1分布.如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数服从参数为p的0-1分布。8/14/20239下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）0（二）二项分布(BinomialDistribution)若随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为n,p的二项分布，

二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中成功的概率均为p，则在n重伯努利试验中成功的次数服从参数为n,p的二项分布。注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。记为或8/14/202310（二）二项分布(BinomialDistribution)

例3设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种方式从中任选n件产品:(1)一次次从中取出产品，每次取一件，并在观察后放回;(2)从中一次性地任选n件。设取得的次品数为，试分别就所述的两种情形，求的分布律。解(1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取时抽到一件次品的概率均为M/N，所以故有8/14/202311例3设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种(2)在N件产品中任选n件，所有可能的取法有种，而其中恰好有k件次品的取法共有种，所以有此时我们称服从超几何分布。8/14/202312(2)在N件产品中任选n件，所有可能的取法有种，而其

例4某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。

解将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为，则所以有直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。8/14/202313例4某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02,独(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为的泊松分布。记为

实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。8/14/202314(三)泊松分布(PoissonDistribution)泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一点由下面的泊松定理所阐述。

泊松定理设随机变量且则有证略因此,由定理,当n很大p很小时，就有8/14/202315泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一点由下面的泊松

泊松定理表明,当n很大(不小于20)p很小(不大于0.05)时,二项分布可近似的用泊松分布来表示.这实际上也就表明了大量实验中稀有事件发生的次数可以用泊松分布来描述.而泊松分布的值可以通过查表得到.8/14/202316泊松定理表明,当n很大(不小于20)p很小(不大

续例4现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时故,于是因此

该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大的.因此在大数次的试验中,不能忽略小概率事件.8/14/202317续例4现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时故

例5

为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型的设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情形),问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?

解

设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数为X,则X~B(300,0.01).所需解决的问题是确定最小的N,使得8/14/202318例5为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工由泊松定理(1)于是(1)式化为经查表计算知,满足上式最小的N是8.因此,为达到上述要求,至少需配备8个工人.8/14/202319由泊松定理(1)于是(1)式化为经查表计算知,满足上式最小的

例6

设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.

解先考虑第一种方法以X表示第一个人维护的20台机器中同一时刻发生故障的台数,则X~B(20,0.01).于是,第一个人来不及维修的概率为8/14/202320例6设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这一事件，则有以Y表示3个人共同维护的80台机器中同一时刻发生故障的台数,则Y~B(80,0.01).于是他们来不及维修的概率为按第二种方法效率更高！8/14/202321设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这一事件，则

例6社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律.

解设该人购买的次数为X,则X的可能取值为表示第一次购买就中奖,其概率为p.表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为1-p,而第二次中奖,其概率为p.由独立性知,有8/14/202322例6社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每(1)

一般的,如果某随机变量的分布律具有(1)的形式,则称该随机变量服从参数为p的几何分布.表示共购买了k次奖券,其中前k-1次都未中奖,而第k次中奖,因此有

因此,购买次数的分布律为8/14/202323(1)一般的,如果某随机变量的分布律具有(1)的形第三节随机变量的分布函数定义

设X是一个随机变量,x是任意实数,函数称为X的分布函数.若已知随机变量X的分布函数,则我们就可以确定X落在任一子区间上的概率:8/14/202324第三节随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.如果将看成是数轴上随机点的坐标,则就是落在区间上的概率.即有因此可以认为8/14/202325分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.如果将看成是数轴上分布函数F(x)的基本性质1)F(x)是一个单调不减的函数.2)且3)F(x)是右连续的,即事实上,8/14/202326分布函数F(x)的基本性质1)F(x)是一个单调不减的函数例1设随机变量的分布律为-123求的分布函数,并求解

由概率的可加性,得所求的分布函数为8/14/202327例1设随机变量的分布律为-12即又8/14/202328即又8/1/202328xy-1231

F(x)的图形如图所示为一阶梯形曲线,它在可能的取值处-1,2,3处发生跳跃，跳跃值为取该值的概率.8/14/202329xy-1231F(x)的图形如图所示为一阶梯一般,设离散型随机变量的分布律为则由概率的可加性可得分布函数为这里和式是对所有满足的k求和.F(x)在处发生跳跃，其跳跃值为

离散型随机变量的分布函数不是连续函数，并且常见的离散型分布的分布函数都是阶梯函数。8/14/202330一般,设离散型随机变量的分布律为则由概率的可加性可得例2向半径为R的圆形靶射击，击中点落在以靶心O为中心,x为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况.以表示击中点与靶心O之间的距离，求的分布函数.解

显然，当时，有又由题意，当时，8/14/202331例2向半径为R的圆形靶射击，击中点落在以靶心O为中心,x当时,按题意,有OR从而

注意,此分布函数为一连续函数.因此,存在着与离散型随机变量不同的另一种随机变量.由于故于是8/14/202332当时,按题意,有OR从而注意,此分布函数为一连续下面我们来分析一下这一类随机变量的一些特征.为此,令则有这就是说,该例中的分布函数可以表示为某一非负函数在上的积分.这不是偶然的.事实上,它是一大类随机变量的分布函数所具有的共同特征,这一类随机变量就是我们下面要讲的连续型随机变量.8/14/202333下面我们来分析一下这一类随机变量的一些特征.为此,第四节连续型随机变量的概率密度一.概率密度及其性质定义如果随机变量X的分布函数可表示成其中为非负的函数,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.记作8/14/202334第四节连续型随机变量的概率密度一.概率密度及其性质定义概率密度具有如下两条基本性质:另外,连续型随机变量还具有如下性质:2)在的连续点处,有1)8/14/202335概率密度具有如下两条基本性质:另外,连续型随机变量还具有如下4)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任意常数C,有5)若是连续型随机变量,则3)连续型随机变量的分布函数是连续函数.因为8/14/2023364)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任例1已知随机变量的的概率密度为且试确定常数并求解

解方程组得8/14/202337例1已知随机变量的的概率密度为且试确定常数并求解解方从而8/14/202338从而8/1/202338

例2设随机变量X和Y具有相同的分布函数，X的概率密度为已知事件与相互独立，且求常数a.解由题设知8/14/202339例2设随机变量X和Y具有相同的分布函数，解得于是又由题设由此可知应有8/14/202340解得于是又由题设由此可知应有8/1/202340二.三种重要的连续型分布(一)均匀分布(UniformDistribution)如果随机变量的概率密度为则称在［a,b]上服从均匀分布，记为8/14/202341二.三种重要的连续型分布(一)均匀分布(Uniform上式表明,落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的概率是相同的.在这个意义上我们说,服从均匀分布的随机变量在其可能取值的区间内具有等可能性.设则8/14/202342上式表明,落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的概率是相

例3

设随机变量现在对进行三次独立的观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解由题设知的概率密度为于是8/14/202343例3设随机变量现在对进行三次独立的观测，求至少若以Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次试验中{X>3}出现的次数),则故所求的概率为8/14/202344若以Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次试验中{二.指数分布(ExponentialDistribution)如果随机变量的概率密度为则称X服从参数为的指数分布.（其中是常数）8/14/202345二.指数分布(ExponentialDistributio如果随机变量的概率密度为（其中是常数）

注：教育部关于研究生入学考试的大纲上对指数分布的定义如下：则称X服从参数为的指数分布.8/14/202346如果随机变量的概率密度为（其中是常数）注：教育部关于易知，若则其分布函数为指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布.8/14/202347易知，若则其分布函数为指数分布在排队论和可靠性理论指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性”.具体叙述如下.设则对于任意的s>0,t>0,有事实上，有8/14/202348指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.8/14/202349假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即服从参数为指数分布。8/14/202350下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即

例4设某电子元件的寿命X(单位:小时)服从的指数分布,(1)求该元件使用500小时没有坏的概率;(2)若已知该元件使用了200小时没有坏,求它还可以继续使用500小时的概率.解设X的分布函数为F(x),则(1)所求的概率为(2)由指数分布的无记忆性,有8/14/202351例4设某电子元件的寿命X(单位:小时)服从三.正态分布(NormalDistribution)若随机变量X的概率密度为则称服从参数为的正态分布.记为称相应的分布函数为正态分布,相应的概率密度为正态密度.服从正态分布的随机变量统称为正态变量.正态变量的分布函数为8/14/202352三.正态分布(NormalDistribution)若随机正态分布是概率论中最重要的一个分布.高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差,所以又称为高斯分布.经验表明,许多实际问题中的随机变量,如测量误差,炮弹落点的分布,人的身高,学生考试的成绩,农作物的产量,产品的尺寸等都可以认为服从正态分布.在理论上,正态分布具有很多优良的性质,许多分布都可以用正态分布来逼近,还有一些分布可以由正态分布来导出.8/14/202353正态分布是概率论中最重要的一个分布.高斯在研究误差理若则称服从标准正态分布.其概率密度函数通常用表示,分布函数记作的图形如图所示.8/14/202354若则称服从标准正态分布.其概率密度函数通常用表示,分布函数记标准正态密度的图形8/14/202355标准正态密度的图形8/1/20235正态密度的几何特性：(1)关于直线对称,并在达到最大值大,图形就扁，(2)反之,小,图形就尖,这一点可由上图看出.8/14/202356正态密度的几何特性：(1)关于直线对称,并在达到最大值大,标准正态分布的分布函数可通过查书后的附表得到.但是表中只列出了时的分布函数值,对于时的情形,可利用下面的公式计算问题：对于一般的正态分布,如何计算其分布函数的值?设其分布函数为则8/14/202357标准正态分布的分布函数可通过查书后的附表得到.但是表中只列出于是,有通常称这个公式为正态概率计算公式,它把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算.8/14/202358于是,有通常称这个公式为正态概率计算公式,它把一般正更进一步的，还有下面的结论。若则引理

证明8/14/202359更进一步的，还有下面的结论。若则引理证明8/1/设,则有即,X落在内几乎是肯定的事.这就是所谓的“”法则.8/14/202360设,则有即,X落在

例5由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解1)2)8/14/202361例5由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求3)设该值为则有即查表得从而8/14/2023623)设该值为则有即查表得从而8/1/202362第五节随机变量函数的分布一.离散型随机变量函数的分布关键是要确定两点：1)可能的取值;2)取任一值的概率.本节的基本任务:已知随机变量的分布(分布律或概率密度),求的概率分布.8/14/202363第五节随机变量函数的分布一.离散型随机变量函数的分布关键是解

X可能的取值为-3,1,5,9,并且所以X的分布律为-31590.20.10.30.4

例1设随机变量的概率分布为-10120.20.10.30.4且分别求X,Y的概率分布.8/14/202364解X可能的取值为-3,1,5,9,并且所以X的分布律Y的可能取值为0,1,4,并且所以Y的分布律为0