离散型随机变量

随机变量及其分布

在必修3中,我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.

随机试验是指满足下列三个条件的试验:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件.(1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？(2)如何比较两个选手的射击情况？(3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识.2.1.1离散型随机变量问题1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.问题2：掷一枚骰子一次，向上的点数.问题探究：试验的结果用数字表示试验结果试验的结果用数字表示试验结果命中0环命中1环命中2环命中10环01210出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点12345出现6点6思考：从上述两个问题中你发现它们有无共同的特征？

每一个实验结果都可以用一个确定的数字来表示......问题3：掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？还可不可以用其它的数字来刻画？？问题4：从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中摸出一个球，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？试验的结果用数字表示试验结果正面向上反面向上10试验的结果用数字表示试验结果黑色白色黄色红色1234还可不可以用其它的数字来刻画？？问题5一位篮球运动员3次投罚球的得分结果可以用数字表示吗？生产一件产品合格与否，其结果也可以用数字表示吗？

任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；(2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.

在掷骰子、掷硬币和罚球的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.定义1：这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(randomvariable).

在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.符号表示：常用希腊字母ξ[ksi:]，η[`eitə]；大写英文字母X，Y等表示。1、随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。常用字母表示。随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确定取何值。问题3在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应该如何定义随机变量呢？Y=0，掷出奇数点1，掷出偶数点说明：在实际应用中应该选择有实际意义、尽量简单的随机变量来表示随机试验的结果.与掷出点数X(1,2,3,4,5,6)比较，随机变量Y(0,1)的值域更小，构造更简单.下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)上海国际机场候机室中2017年10月1日的旅客数量；(2)2018年某天银川至北京的K178次列车到北京站的时间；(3)2017年7月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)体积为1000cm3的球的半径长．练是是是不是随机变量和函数有类似的地方吗？

随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，而函数把实数映为实数.

实际上随机变量的概念也可以看作是函数概念的推广.

试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.

我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.函数随机变量自变量实数随机试验的结果因变量实数实数因变量的范围值域值域相同点都是映射函数与随机变量的异同点

例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量.其值域是

.{0，1，2，3，4}问题4

能够通过随机变量X来研究随机事件吗？例如，{X=0}表示“抽出0件次品”；{X=1}表示“抽出1件次品”；{X=4}表示“抽出4件次品”等.你能说出{X<3}表示什么事件呢？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？“抽出0或1或2件次品”{X=3或X=4}问题5

从值域的角度来看，前面所涉及的随机变量取值有什么特点？特点：随机变量所取的值可以一一列出.定义2：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(discreterandomvariable).说明：本章研究的离散型随机变量只取有限个值.你能举出一些离散型随机变量的例子吗？离散型随机变量的一些实例：(3)1小时内到达某公共汽车站的人数；(1)在本班中任意抽取5名同学中戴眼镜的人数；(2)某人射击一次可能命中的环数.它的所有可能取值为0，1，2，…，10(共11个)它的所有可能取值为0，1，2，3，4，5(共6个)它的所有可能取值为0，1，2，….问题6

电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量.而称为连续型随机变量.(1)如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品；寿命在1000到1500之间的为二等品；寿命在1000小时之下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，那如何定义随机变量？X=0，灯泡为不合格品1，灯泡为合格品(2)

如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，应该如何定义随机变量？(3)

如果我们关心灯泡的使用寿命，又应该如何定义随机变量？Y=1，灯泡为一等品2，灯泡为二等品3，灯泡为不合格品定义随机变量Z为灯泡的使用寿命.在上面的问题中，所定义随机变量的规律是什么？

所定义的随机变量值应该有实际意义，所定义的随机变量取值应该和所感兴趣的结果个数形成一对一的关系.写出下列各随机变量可能的取值.（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数．（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数．（3）抛掷两个骰子，所得点数之和

．（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数

．（＝1、2、3、···、n、···）（＝2、3、4、···、12）（＝1、2、3、···、10）（＝0、1、2、3）练一练1.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为，则所有可能值的个数是____

个；{

}表示

．“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．92.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:(1){ξ>4}表示的试验结果是什么?(2)P(ξ>4)=?12345小结：1.(1)随机变量是随机事件的结果的数量化．

(2)随机变量ξ的取值对应于随机试验的