混合互补模型在非连续变形分析中的应用

混合互补模型在非连续变形分析中的应用

在计算岩石工程值时，非连续性问题的处理一直是研究的重点。从特殊的界面方法到完全非连续性块体的离散模型，它是计算方法理论上的一个很大变化，通常被认为是ddosa。经典的DDA中将接触分为凸角对边,凸角对凹角和凸角对凸角3种形式,实际操作时都是采用“点”对“边”格式进行处理,当问题扩展到三维状态时,接触判断变得相当复杂,这也成为国内外学者研究的一个热点.令人欣慰的是,近几年来关于此问题的研究已经取得可喜的进步,如陈文胜和郑宏等人接触问题一般都可归结为一个带有不等式约束的优化问题或变分问题,现在通常使用罚函数法和拉格朗日乘子法来满足接触条件,这2种方法各有优缺点.罚函数法允许接触体间有少量的相互穿透,穿透量虽然通常微不足道,但罚因子的合理取值并不是一件容易的事:过小会导致接触条件的过分背离过大会导致刚度矩阵的病态,甚至影响到收敛.拉格朗日乘子法能精确满足所设定的等式接触条件,但当迭代过程中施加的约束不当时,可能会引起刚度矩阵的亏秩.原始的DDA及Cheng上述改进的共同目的就是为了减轻罚参数的影响,并没有改变原DDA所采用的“试验-误差”迭代格式,因此,实施过程中仍然要进行“开-闭迭代”来确保正确的接触方式.“开-闭迭代”虽然简单直观,但需要在迭代过程中反复修改接触方式,因从一种接触方式转换到另一种接触方式所对应的弹簧刚度并不连续,因此迭代过程中自由度的变化呈跳跃状,故确保开闭迭代的收敛并非一件容易的事.为了避免引入罚因子和“开-闭迭代”,重列了DDA的计算格式:从动量守恒的变分方程(而不是原来的最小化势能)出发,得到离散形式的动量守恒方程,这样即使将来考虑块体本身的非线性也不会带来本质上的困难;例如当模拟垃圾填埋体在动载作用下的运动时1基于互补理论的非连续变形分析1.1混合互补理论中的广义混合互补问题互补问题(complementaryproblems,简称CP)是由著名运筹学家、数学规划的创始人Dantzig和他的学生Cottle于1963年提出的令F:R表示为CP(F),其中R令G:R表示为MiCP(G,H).更进一步,若将(2)式中的v用另一连续映射F来代替,则可得到广义混合互补问题:令G,H的定义同(2)式,但有连续映射F:R本项研究正是利用(3a)式来实施DDA的,其中的第1式代表离散形式的动量守恒方程,第2式代表互不嵌入和Coulomb准则,第3式代表接触力和相对位移间的互补条件.(3b)式可等价地表示成如下的非光滑方程组当然也可利用其他C-函数来代替(3b)中的min函数至于互补问题的解法,有限维变分不等式理论意见提供了大量的实用解法和相关的收敛性证明2块体接触问题的刚度方程由于DDA在最终都将条块间的接触都简化成了点-边接触,因此,如图1所示,一个典型块体上所受的力包括如下4种.(Ⅰ)接触力(集中力),又分为如下2种.(ⅰ)作用在角点的主动接触力p(ⅱ)作用在Ω(Ⅱ)作用在块体边界段S(Ⅲ)作用在块体边界上某些点的已知的集中载荷,通称为(Ⅳ)体积力b-ρu.首先写出Ω式中σ和u为块体应力和位移矢量,δu和δε代表虚位移和虚应变矢量.然后,利用与原DDA相同的块体插值模式其中以及这里,(u最后,考虑到(4)式中的最后一项,即接触力的虚功,可被表达成其中并将(5a)式代入(4)式,可得离散形式的块体ΩM为6×6的质量矩阵,ˆK为6×6的刚度矩阵,ˆC是由接触点的位置及所对应的主-奴上的局部标架来决定的,ˆq为6阶广义力向量,ˆp为所有接触点对的接触力所构成的向量.至于(6)式中的Mdˆ,可以按照经典的DDA进行处理,处理后的方程形式如下3有接触点所构成的接触力假定系统内有n它具有如下形式[p]为所有接触点对的接触力所构成的向量(未知),假如条块系统由nC为了从方程组(8a)中解得d和p,还得再补充2n4ai和j分布现在来n首先考虑法向接触,如图2所示,小增量步结束后的最短的法向相对距离必须满足这里其中,i和j分布指“奴”和“主”;因法向接触力p上述互补关系的等价描述是其中,E是为了使p然后再来考虑切向接触,如图3所示.切向接触可能有2种状态,静摩擦和滑动摩擦.静摩擦时其中,μ为摩擦系数,C为内粘聚力;g滑动摩擦时以Ω类似于E,G是为了使得Gg5石接触对的准则把方程组(8a)和所有接触对的方程(10)和(12)联立起来,得到上式中方程个数m=6n值得指出的是,DDA的贡献之一在于给出了一组严格的确定接触点对的准则,利用这组准则可以确保在每个增量步内的接触点对达到最小;同时,石当存在“凸角对凸角”的接触时,接触过程中可能出现4对接触对,因此在法向或切向上可能有4个不同的方程;但既便如此,这4个方程中的函数可以看成一个连续且分片光滑的4个片(patch),本文所建议的解法可以毫无困难的应付这一情况.6过程任务中路径牛顿法求极限化因方程组中的H(z)包含了min函数,因此是一个非光滑方程,选择用有全局收敛性的方法来解.为此定义价值函数(meritfunction)为同时将采用路径牛顿法(PNM)来求上面极小化这个函数.算法如下.数据:z步骤1:令k=0.步骤2:如果Θ(z步骤3:求下降方向dz步骤4:步长确定.令ω步骤5:取z注意(14)式中的H′(z7计算值的示例对于本文所有的算例,取算法PNM中的ε=107.1冲突解决图4所示,一个10m×1m固定底座上,2个边长0.414m的八面体碰撞的情况,材料密度为ρ=2.8×107.2材料参数的确定现考虑一经典的用于验证DDA正确性的拱梁模型,如图6所示,最左侧和最右侧的2个块体固定,中间块体上作用有持续的点荷载0.05kN,方向垂直向下.计算中采用的块体材料参数为:材料的单位重为γ=2.0kN/m图7和8对CDDA和DDA的计算结果进行了比较,可以看出计算30步后2种方案的计算结果没有差别,图形产生了覆盖,50步之后计算结果差别细微,DDA的计算结果比CDDA的略大一点.经过检查,该算例DDA程序设置的允许侵入距离为0.01723m,这是由于罚函数法必须有少量侵入才能计算而导致的.7.3初始地应力场计算巷道围岩的变形及其稳定性研究是岩土工程中的常见问题,典型的地下巷道围岩模型如图9所示,最外围的块体固定,初始地应力场为采用静态计算,步最大位移率取0.005,时步为0.01s,采用CDDA计算500个时步,计算得到的变形和应力如图10和11所示,可以看到围岩基本处于自稳状态,外圈和中间层的应力变化微小,应力主方向保持水平方向,但是里层围岩应力状态变化很大其主方向在左右两侧变化为垂直方向.8cdda的算法本文尝试了将D