常用逻辑用语复习

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常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词全称量词与存在量词四种命题充分条件与必要条件量词全称量词存在量词含有一个量词的否定或且非并集交集补集命题的形式：“若P,则q”也可写成“如果P,那么q”

的形式也可写成“只要P,就有q”

的形式

通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．1.1.1命题其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．条件Ｐ的否定，记作“

Ｐ”。读作“非Ｐ”。若p则q逆否命题：原命题：逆命题：否命题：若q则p若

p则

q若

q则

p

四种命题结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则q”的形式）注意：三种命题中最难写的是否命题。结论2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆互为逆否（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。

(1)原命题与逆否命题同真假。(2)原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。命题真假性判断结论：充分条件与必要条件一般地，“若p则q”为真命题，我们就说由p可推出q，则记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；

“若p则q”为假命题，我们就说由p推不出q，则记作pq，并且说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；①从命题角度看若把命题中的条件与结论分别记作p与q,则原命题与逆命题同p与q之间有如下充要关系：㈠若原命题是真命题,逆命题是假命题,那么p是q的充分不必要条件㈡若原命题是假命题,逆命题是真命题,那么p是q的必要不充分条件㈢若原命题和逆命题都是真命题,那么p和q互为充要条件㈣若原命题和逆命题是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件pqq

ppqpqpqpqq

Ppqq

p即:即:即:即:

⑴p是q的充分不必要条件，相当于,如右图:

⑵p是q的必要不充分条件，相当于,如左图:⑶q

P相当于

P=Q

,即:互为充要条件的两个事物表示的是——同一事物。如右图:

②从集合角度看简单的逻辑联结词

一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作

读作“p且q”.规定:当p,q都是真命题时,是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,是假命题.全真为真,有假即假.

一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作规定:当p,q两个命题中有一个是真命题时,是真命题;当p,q两个命题中都是假命题时,是假命题.全假为假,有真即真.

一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作

若p是真命题,则必是假命题;若p是假命题,则必是真命题.读作”非p”或”p的否定”理解对命题中关键词的否定：关键词等于大于小于是都是至少一个至多一个任意…P或QP且Q否定不等于不大于不小于不是不都是一个没有至少两个存在…非P且非Q非P或非Q全称量词与存在量词常见的全称量词有:“对所有的”,“对任意一个”,“对一切”,“对每一个”,“任给”,“所有的”等.

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.

全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“对某个”等.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读做“存在一个x,使p(x)成立”.含有一个量词的命题的否定

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是特称命题.从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题它的否定从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题特称命题的否定是全称命题.例题选讲例1、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题：

（1）p：平行四边形对角线相等；

q：平行四边形对角线互相平分。p或q：平行四边形对角线相等或互相平分p且q：平行四边形对角线相等且互相平分非p：平行四边形对角线不一定相等（２）p：10是自然数

q：10是偶数p或q：10是自然数或是偶数p且q：10是自然数且是偶数非p：10不是自然数例2．分别指出下列命题的构成形式并判断命题的真假：（１）x=2或x=3是方程x2

5x+6=0的根（２）

既大于3又是无理数（３）直角不等于90

（４）x+1≥x

3（５）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧例3．把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：

（１）实数的平方是非负数。（２）等底等高的两个三角形是全等三角形。（３）被6整除的数既被3整除又被2整除。（４）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题）若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题）若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。（真命题）例4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：（１）面积相等的两个三角形是全等三角形。（２）若x=0，则xy=0。（３）当c<0时，若ac>bc，则a<b。（４）若mn<0，则方程mx2

x+n=0有两个不相等的实数根。（１）面积相等的两个三角形是全等三角形。解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）否命题:面积不等的两个三角形不是全等三角形.(真命题）逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题）（２）若x=0，则xy=0。解：逆命题：若xy=0，则x=0。（假命题）否命题：若x

0，则xy

0。（假命题）逆否命题：若xy

0，则x

0。（真命题）(3)当c<0时，若ac>bc，则a<b。解：逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc。（真命题）否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b。（真命题）逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc。（真命题）(4)若mn<0，则方程mx2

x+n=0有两个不相等的实数根。解：逆命题：若方程mx2

x+n=0有两个不等实数根，则mn<0。（假命题）否命题：若mn≥0，则方程mx2

x+n=0没有两个不等实数根。（假命题）逆否命题：若方程mx2

x+n=0没有两个不等实数根，则mn≥0。（真命题）例5．指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：（１）p：a2>b2

q：a>b

则p是q的（）（２）p：{x|x>

2或x<3}q：{x|x2

x

6<0}则p是q的（）（３）p：a与b都是奇数q：a+b是偶数则p是q（）（４）p：0<m<１/３

q：方程mx2

2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则p是q的（）既不充分也不必要条件。必要而不充分条件充分不必要条件。充要条件例6．判断下列命题的真假：(1)(x

2)(x+3)=0是(x

2)2+(y+3)2=0的充要条件。(2)x2=4x+5是x

＝x2的必要条件。(3)内错角相等是两直线平行的充分条件。(4)ab<0是|a+b|<|a

b|的必要而不充分条件。(1)是假命题。反例；若x=2,y

3(2)是假命题.{x|x2=4x+5}={

1,5}{x|x＝x2}={0,5}(3)是真命题。

(4)是假命题。|a

b|>|a+b|≥0(a

b)2>(a+b)2

a2

2ab+b2>a2+2ab+b2

4ab<0

ab<0∴(ab<0是|a+b|<|a

b|的充要条件)例7．用量词符号“

”，“

”表达下列问题１、凸n边形的外角和等于２π；２、不等式的解集为A，则A

R；３、有的向量方向不定；４、至少有一个实数不能取对数；(1)

x∈{凸n边形}，x的外角和等于２π；(2)A={不等式的解}，AR；(3)

0∈{向量}，0的方向任意；(4)x∈R，x不能取对数；例8．写出下列命题的否定(1