材料力学扭转课件

第三章

扭转第三章

扭转1ABB'jgmmg：剪切角g切应变j：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行§3-1概述ABB'jgmmg：剪切角g切应变j：相对扭转角外力偶作用平2

一、传动轴上的外力偶矩§3.2传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图转速：n(转/分)输入功率：P(kW)Me1分钟输入功：1分钟me作功一、传动轴上的外力偶矩§3.2传动轴的外力偶矩扭矩及扭3

当杆件只受到位于其横截面内的扭转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。

在该杆BC区间内作m-m截面,取截面左侧杆段为研究对象，如图所示，此时杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其余的内力分量均为零。

对未知的扭矩按正方向设定扭矩的符号按右手法则规定，即右手四指指向扭矩的转向，拇指离开截面的扭矩为正，指向截面的扭矩为负。

由研究对象的平衡方程可知，m-m截面的扭矩

T=m1-m2

等于其一侧的外力偶矩的代数和。

当杆件只受到位于其横截面内的扭转力偶作用4例

传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩例传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=5

二、扭矩及扭矩图

1.横截面上的内力：扭矩(T)2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。例二计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩图如左图示。二、扭矩及扭矩图1.横截面上的内力：扭矩(T6δ<<R0---薄壁圆筒规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正mm§3.3薄壁圆筒的扭转纯剪切

mT11扭矩切应力对应δ<<R0规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正m7扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。纵向线圆周线扭转实验后结论扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的8得：Mer0x由几何关系知：……剪切胡克定律（线弹性范围适用）OTφOτγ另外有：G为材料的剪切弹性模量1.薄壁圆筒的扭转的切应力2.剪切胡克定律得：Mer0x由几何关系知：……剪切胡克定律（线弹性范围适用9

3.切应力互等定理单元体：微小的正六面体ottdydzdxxyz′在扭转时，左右两侧面（杆的横截面）上只有切应力，方向与y轴平行，前后无应力。由平衡条件：

切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（τ、τ′）成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。

纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）3.切应力互等定理单元体：微小的正六面体ottdydzd10abdxabTT

一、横截面上的应力1、变形几何关系§3.4圆轴扭转时的应力强度条件gMeMedxO2grgr2、物理关系(剪切虎克定律)Or3、静力学关系—极惯性矩dAdAabdxabTT一、横截面上的应力1、变形几何关系§3.11应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρOT抗扭截面系数D/2OTd/2空心圆实心圆应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρ12关于极惯性矩和抗扭截面系数

Ip称为极惯性矩，Wt称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、尺寸有关。

a.

圆截面

b.

空心圆截面

式中：关于极惯性矩和抗扭截面系数Ip称为极惯性矩，W13t′tt′tabxnat′tαtσα得：低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏

二、斜截面上的应力tt′tt′tabxnat′tαtσα得：低碳钢扭转破坏铸铁扭14

三、强度条件强度条件：，[t]—许用切应力；轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。根据强度条件可进行：强度校核;选择截面;计算许可荷载。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[t]与许用正应力[σ]之间存在下述关系：对于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]对于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σl]

式中，[σl]代表许用拉应力。三、强度条件强度条件：15

例某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。解：计算截面参数：

由强度条件：故轴的强度满足要求。

同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。

若将空心轴改成实心轴，仍使，则由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：

例某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁16计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。刚度条件其中：[

，]—许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。§3.5圆轴扭转时的变形刚度条件单位长度的扭转角：radrad/m计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。相对扭转角：GIp17dφ

一、单位长度相对扭转角φ’

相对扭转角φ

dφ一、单位长度相对扭转角φ’相对扭转角φ18比较拉压变形：公式适用条件：1、当

p（剪切比例极限）公式才成立2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量）称为抗扭刚度

若圆轴的(T/GIP)分段为常数，其两端面间的相对扭转角φ为比较拉压变形：公式适用条件：1、当p（剪切比例极限）公19例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。解：t例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内20例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300mm，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。

例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周21解：由t解：由t22例：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩m=10KN·m,轴长l=1m,剪切模量G=80GPa，实心轴直径为104mm，空心轴外径为120mm，内径为60mm。试比较它们的最大扭转角ф。解：实心轴空心轴例：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面23例：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa，，试求截面C相对截面B的扭转角。ACB例：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa，24解：假设A截面不动ACB方向同第一种解法解：假设A截面不动ACB方向同第一种解法25第二种解法叠加法ACB在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。假设B截面不动。分别求出在单独作用下，C截面相对B截面的扭转角，然后叠加。第二种解法叠加法ACB在线弹性范围和小变形条件下，可采用26ACB转向与相反负号表明与相同ACB转向与相反负号表明与相同27二、刚度设计

圆轴除应满足强度条件外，还不允许有过大的弹性变形，即要满足一定的刚度条件。单位长度扭转角表示圆轴扭转变形的剧烈程度，因而圆轴扭转刚度条件表达为单位长度相对扭转角[φ‘]的数值可从设计手册中查到。

利用上式可以解决刚度校核、截面设计和许可载荷计算等三方面的问题，称为刚度设计。二、刚度设计圆轴除应满足强度条件外，28例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝5kN·m,材料的[τ]=30MPa,G=80GPa,

试选择轴的直径ｄ。

解：可选d=95mm例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝5kN·m,材料的[τ]=30MP29

例图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC

作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[

，]＝0.50／m。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：例图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与M30

各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。

由此得轴AC的总扭转角为

2刚度校核轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：∴该轴的扭转刚度符合要求。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC31例钢制空心圆轴的外直径D＝100mm，内直径d＝50mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5

，材料的剪切弹性模量G＝80.4GPa。

解：1．确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有

1.求该轴所能承受的最大扭矩；

2.确定此时轴横截面上的最大剪应力。由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为空心圆轴截面的极惯性矩轴所能承受的最大扭矩为＝9.688×103N.m＝9.688kN.m例钢制空心圆轴的外直径D＝100mm，内直径d＝5032下面框图表示了求解过程：

若对轴同时提出强度和刚度的要求下面框图表示了求解过程：若对轴同时提出强度和刚度的要求33三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件单位长度扭转角三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件单位长度扭转角34例

如图所示，某传动轴输入功率PA=7.5kW，输出功率PB=5kW，PC=2.5kW，该轴转速n=300r/min，材料为45钢，G=80GPa，[τ］=40MPa，［φ‘］=1.5×10-3°/m。

求：1）试设计轴的直径；2）若LBA=1.5m，LAC=1m，试计算φ

BC。解：1）设计轴的直径首先计算三处的扭转力偶矩该轴扭矩图如图b所示，最大扭矩Tmax发生在BA段，且Tmax=159.2N·m。按强度条件例如图所示，某传动轴输入功率PA=7.5kW，输出功率35按刚度条件

若要求强度条件与刚度条件均得到满足，可取D=30mm，由计算可知，此例中刚度条件是圆轴设计的控制条件，即

2）若LBA=1.5m，LAC=1m，试计算φ

BC。按刚度条件若要求强度条件与刚度条件均得到满足，可取D36例

实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径

d。

解1、绘制扭矩图如图。

T图4.5kNm3kNm4.5kNm2、由强度条件设计d。

解得直径3、由刚度条件设计d。

从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用d=102mm

。

例实心圆轴受力如图示，已知材料的解1、绘制扭矩图如图。37四、扭转超静定问题例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。四、扭转超静定问题例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受38解：静力平衡方程为：变形协调条件为：即：解：静力平衡方程为：变形协调条件为：即：39

例

圆轴有A，B两个凸缘，在扭转力偶矩Me作用下发生了变形。把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除Me。设轴和筒的抗扭刚度分别是GIp1和GIp2，试求轴内和筒内的扭矩。

解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭转力偶矩Me解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形．而圆筒则阻抗其恢复。达就使得在轴内和简内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与简切开．因这时已无外力偶矩，平衡方程是根据以上条件可解扭转超静定问题例圆轴有A，B两个凸缘，在扭转力偶矩Me作用下发生了变40φTOABφTlφTT*扭转应变能与应变能密度1、应变能2、应变能密度φTOABφTlφTT*扭转应变能与应变能密度1、应变能2、41圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

1、螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。但当螺旋角α很小时，α＜5°，便可忽略α

的影响，近似地认为，簧丝横截面与弹簧轴线(即与F力)在同一平面内。这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。当簧丝检截面的直径d远小于弹簧团的平均直径D时．还可以略去簧丝曲率的影响，近似地用直杆公式计算。

2、取以簧丝的任意横截面出上面部分作为研究对象。在密圈情况下，认为压力F与簧丝横截面在同一平面内。为保持取出部分的平衡，横截面上必有一个通过截面形心的剪力Fs和一个扭矩T内力3、应力剪力Fs引起的切应力扭矩T引起的切应力两项相比，前者τ1很小，不到5%，故可略去不计。按扭转计算。对与实际不符的因素，用曲度系数k进行修正4、表3-1可查曲度系数k值圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形1、螺旋弹簧簧丝的42弹簧的变形用应变能推出扭转切应力应变能密度=若弹簧刚度则弹簧的变形用应变能推出扭转切应力应变能密度=若弹簧刚度则43§3-6非圆截面杆的扭转圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设

的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。§3-6非圆截面杆的扭转圆截面杆扭转时44材料力学扭转ppt课件45非圆截面杆在扭转时有两种情形:

1、自由扭转或纯扭转在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有切应力,而没有正应力。非圆截面杆在扭转时有两种情形:1、自由扭转或纯扭转462、约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。2、约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约47对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。重点讨论矩形截面杆扭转对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附48矩形截面杆的扭转1、在截面周边各点处的切应力均与周边平行,且组成一个与扭转方向相同的环流；2、截面的四个角上切应力均为零；3、最大切应力发生在长边中点处；4、短边中点处的切应力为该边上各点处切应力中的最大值。矩形截面杆的扭转1、在截面周边各点处的切应力均与周边平行,且49表3.1矩形截面杆扭转时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0∞α0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.333β0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.299