北京丰台区第三中学高三数学文期末试卷含解析

北京丰台区第三中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线m，n和平面α，且m⊥α．则“n⊥m”是“n∥α”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面垂直和线面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m⊥α时，若n⊥m，则n∥α或n?α，即充分性不成立，若n∥α，则n⊥m成立，即“n⊥m”是“n∥α”的必要不充分条件，故选：B2.已知函数，则（

）

A.

B.2

C.4

D.8参考答案：【知识点】指数函数对数与对数函数B6B7【答案解析】A

f()=-1,f(-1)=故选A。【思路点拨】根据分段函数代入相应的范围求结果。3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足.当M，N运动时，下列结论中不正确的是（

）A.平面平面

B.三棱锥的体积为定值C.可能为直角三角形

D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为参考答案：C4.复数(为虚数单位)的虚部是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D5.下列函数中，在区间上为减函数的是A．

B．C．

D．参考答案：B

6.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm3)A.

B.

C.16

D.参考答案：B如图故

选A7.下列函数中，最小正周期为的偶函数为（

）(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A试题分析：这种问题首先应该把函数化简，，，，这时会发现只有A是偶函数，当然它的最小正周期也是，只能选A．考点：最小正周期，函数的奇偶性．

8.已知f（x）=，则f（1）为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由函数性质得f（1）=f（3）=f（5）=f（7），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2．故选：A．9.已知函数，若,则实数的取值范围是

A.

B.C.

D.参考答案：A10.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期=

．参考答案：2π12.已知中，，，且，则的取值范围是▲。参考答案：【知识点】向量的数量积

F3因为，所以，即可得，因为可得，设，所以有，因为，可得，所以，故答案为.【思路点拨】根据题意可得，由平方可得，可得，根据角B的范围求得，而即可求得.13.关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值为4；④y=f（x）的图象关于直线x=对称；则其中正确结论的序号为．参考答案：①②③④【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．【分析】①根据三角函数的周期公式进行求解；②根据三角函数的诱导公式进行转化；③结合三角函数的有界性和最值进行求解判断；④根据三角函数的对称性进行判断；【解答】解：①函数的周期T=，故y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数正确；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）正确；③当4sin（2x+）=1时，y=f（x）的最大值为4，正确；④当x=时，f（）=4sin（2×+）=4sin=4为最大值，即f（x）的图象关于直线x=对称，正确．故正确的是①②③④，故答案为：①②③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．14.已知，是互相垂直的单位向量，若

与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．参考答案：【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．15.如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{an}满足a1=，an+1=[an]+，则a2017等于（）参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由已知求出数列的前四项，从而猜想an=4（n﹣1）+，由此能求出结果．【解答】解：∵，an+1=[an]+，∴a2=2+=4+，=8+，

a4=10+=12+，=16+，…∴an=4（n﹣1）+，∴a2017=4×2016+=8064+．【点评】解决该试题的关键是对于两个数列通项公式的分析和求解，然后能合理的选用求公式来得到结论．16.等差数列中，已知，则的取值范围是

．参考答案：试题分析：由得，所以由，，故的取值范围为考点：等差数列的通项公式17.由曲线以及x轴所围成的面积为______

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（Ⅰ）画出甲、乙两产品数据的茎叶图；（Ⅱ）现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅲ）若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．（Ⅱ）分别求出，，，，得到=，，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，），由此能求解答： 解：（Ⅰ）由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：（Ⅱ）=（8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3）=8.5，=（9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5）=8.5，=[（8.3﹣8.5）2+（9.0﹣8.5）2+（7.9﹣8.5）2+（7.8﹣8.5）2+（9.4﹣8.5）2+（8.9﹣8.5）2+（8.4﹣8.5）2+（8.3﹣8.5）2]=0.27，=[（9.2﹣8.5）2+（9.5﹣8.5）2+（8.0﹣8.5）2+（7.5﹣8.5）2+（8.2﹣8.5）2+（8.1﹣8.5）2+（9.0﹣8.5）2+（8.5﹣8.5）2]=0.405，∵=，，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小，说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，则ξ～B（3，），∴P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ==．点评：本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故可得an=1×3n﹣1=3n﹣1，由求和公式可得Sn==；（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列{bn}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3+=1010【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20.（本题满分共14分）如图，四边形ABCD为矩形，,BC平面ABE，BFCE，垂足为F.（1）求证：BF平面AEC;（2）已知AB=2BC=2BE=2，在线段DE上是否存在一点P，使二面角P-AC-E为直二面角，如果存在，请确定P点的位置，如果不存在，请说明理由。参考答案：解法（一）：(1)BC平面ABEBCAE，又，所以，AE平面CBEAEBF，而BFCE，所以，BF平面AEC。（2）过P作PKAC于K,PLEC于L,连接K,L。则。设PE=x，则PK=PL=，KL=，，所以，P为DE的三等分点，且解法（二）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系。则A(0，0，0)，B(0，2，0),C（0，2，1）D(0，0，1),E（1），，所以，BF平面AEC（2）设，，,设平面APC的法向量为，，，令y=1，则z=-2，，而平面AEC的法向量是，，解得，所以，存在点P，且21.（本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：．

参考答案：（1）解：∵，

∴.

………1分当时，，

………3分得，

………………4分∴数列是首项为，公比也为的等比数列．

………5分∴.

……………6分（2）证明：当时，， ………………7分∴.

…………8分由，，

………………10分∴.

……………11分∴.…………13分

∵，∴，即.

…………………14分22.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：分

组[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频

数231415124（1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；（3）为了进一步获得研究资料，若从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40，50）组中的树苗A和[90，100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？参考答案：考点：等可能事件的概率；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题．分析：（1）根据题意，由频率分布表可得高度不低于80厘米的频数，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）首先计算出样本容量，进而由平均数的计算公式计算可得答案；（3）设[40，50）组中的树苗为A、B，[90，100]组中的树苗为C、D、E、F，用列表法可得移出3棵树苗的基本事件的数目与A、C同时被移出的事件数目，有等可能事件的概率公式计算可得答案．解答： 解：（I）∵高度不低于80厘米的频数是12