角含半角模型

角含半角模型第九章：半角模型模型1：倍长中线或类中线构造全等三角形，已知如下条件：①∠2=1/2∠AOB；②OA=OB。连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。分析：（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。实例：例1：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF。求证：∠EAF=1/2∠BAD。例2：在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD。求证：EF=BE-FD。例3：在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。（1）当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；（2）当DM≠DN时，猜想（1）的结论是否成立，需要证明；例4：在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。（1）当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，AM、CN、MN三者之间的数量关系是；（2）当CM≠CN时，需要证明（1）中的结论是否成立；（3）当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，AM、CN、MN三者之间的数量关系是。例5：在正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。求证：BM+DN=MN。2作AH⊥MN于点H，证明AH=AB。在直角三角形ABH中，由勾股定理可得：AH²=AB²-BH²。因为AB是正方形的一条边，所以AB=BH，代入上式得：AH²=AB²-AB²=0，所以AH=0，即AH=AB。7在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系为BD²+DE²=EC²，并给予证明。将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE'，因为∠BAC=90°，所以△ABE'为等腰直角三角形，BE'=AB=AC，因为∠DAE=45°，所以∠EAE'=45°，所以△ADE'为等腰直角三角形，DE'=DA，因此，BD²+DE²=BD²+DA²=BA²=EC²，所以BD²+DE²=EC²。当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，猜想BD²+DE²>EC²，并给予证明。同样将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE'，此时E'和D在同一直线上，所以BE'+BD=BC，即AB+BD=BC，因为AB=AC，所以BD=BC-AC，代入BD²+DE²>EC²中得：(BC-AC)²+DE²>EC²，展开化简后得：BC²-2BC×AC+AC²+DE²>EC²，因为BC>AC，所以BC²-2BC×AC+AC²<0，所以BD²+DE²>EC²。8已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E连接EF。(1)当四边形ABCD为正方形，且∠EAF=45°时，EF²=2BE²。(2)当AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，且∠EAF=∠BAD时，EF²=2BD²。证明：(1)因为ABCD为正方形，所以AB=BC=CD=DA，因为∠EAF=45°，所以∠EAB=45°，所以△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AB/√2，又因为AB=BC，所以BE=BC/√2，EF²=BE²+BF²=BE²+(BC+CF)²=BE²+BC²+2BC×CF+CF²=2BE²。(2)因为AB=AD，所以△ABD为等腰三角形，所以BD=AB/√2，因为∠ABC与∠ADC互补，所以△ABC与△ADC相似，所以BC/AC=AC/DC，