开普勒定律的证明

开普勒定律的证明设太阳与行星质量分别M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。如图行星位置矢量是垂直单位矢量。行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。积分，得r×v=h(常矢量)上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面极坐标中，行星运动有关物理量如下：径行r=ｒ﹒r°；速度ｖ=ｄr/ｄt=(ｄr/ｄt)﹒ｒ°+r﹒(dα/dt)﹒α°ｒ°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。ｄr/ｄt是径向速度分量，r﹒(dα/dt)是横向速度分量速度大小满足v²=(ｄr/ｄt)²+(r﹒(dα/dt))²动量mv=m(ｄr/ｄt)+m(r﹒(dα/dt))角动量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)得L=m•r²•(dα/dt)行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则E=½mv²-GMm/r因α/dt=L/mv²ｄr/ｄt=(L/mv²)(dr/dα)代入上式(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+L²/m²r=2E/m+2GM/r上边两式同乘m²/L²，得dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²上式对α求导。并注意E与L为常量。得2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα)开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段。时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。。在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……{1}。sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得vB=[(a-c)/(a=c)]vA……………{2}行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)根据机械能守恒，应有EA=EB，故得1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……{4}由{2}{4}两式可解得（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………{5}（vAB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}由{5}式和{1}式得面积速度为SA=S