四川省德阳市方亭中学2022年高三数学文测试题含解析

四川省德阳市方亭中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2）命题“对任意，都有”的否定为（A）对任意，使得

（B）不存在，使得（C）存在，都有

（D）存在，都有参考答案：A．2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.3.某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（）A．200 B．100 C．80 D．75参考答案：C【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=，∴x=80．故选：C．4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则等于A.

18

B.

24

C.

60

D.

90参考答案：C解析：由得得,再由得

则,所以,.故选C5.若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知，且，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：C，由得，解得，因为，所以解得，所以，选C.7.如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：D8.已知等比数列中,公比若则有（

）A．最小值 B．最大值 C．最小值12 D．最大值12参考答案：B9.“”是“”的

（

）充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：B10.设a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9，那么（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b参考答案： C【考点】对数值大小的比较；指数函数与对数函数的关系．【分析】对a、b、c三个数，利用指数、对数的性质，进行估算，和0、1比较即可．【解答】解：a=log0.70.8＞0，且a=log0.70.8＜log0.70.7=1．b=log1.10.9＜log1.11=0．c=1.10.9＞1．∴c＞1＞a＞0＞B、即b＜a＜c、故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数的定义域为D,如果存在区间同时满足下列条件:①在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时,的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区间”.若函数存在“H区间”,则正数的取值范围是____________.参考答案：12.如图，在平面四边形中，已知分别是棱的中点，若，设，则的最大值是

.参考答案：试题分析:由题设可得,运用基本不等式可得式,从而求得;同理可得,所以的最大值是,故应填.考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以平面四边形所满足的条件,为背景,精心设置了一道求的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设建立方程组,然后借助基本不等式建立关系式,从而求得;同理可得,所以的最大值是.13.已知函数f(x)满足f(x)＝f()，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是

▲

．参考答案：14.求值=．参考答案：

考点： 三角函数的化简求值．专题： 计算题．分析： 利用二倍角公式化简分母，降次升角，利用诱导公式化简分子，约分即可．解答： 解：===（﹣2）×=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题是基础题，解题的关键所在：分母应用二倍角公式：降次升角，考查计算能力．15.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n＝

▲

．参考答案：8016.

抛物线的焦点坐标是

参考答案：答案：

17.已知复数满足，则=

；

参考答案：１略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如右图的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，∥，，，．⑴求证：平面；⑵求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案：解：（1）证明：因为，在△中，由余弦定理可得．所以．所以．因为，，、平面，所以平面．…5分（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．取的中点，连结，，因为是等腰梯形，且，，所以．所以△是等边三角形，且．取的中点，连结，，则．因为平面，，所以．因为，所以平面．所以为直线与平面所成角．因为平面，所以．因为，在△中，所以直线与平面所成角的正弦值为．……12分解法2：由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．所以，，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系．因为是等腰梯形，且，所以．不妨设，则，，，，……12分略19.（本小题满分14分）一动圆与圆外切，与圆内切.（I）求动圆圆心M的轨迹的方程；（Ⅱ）设过圆心的直线与轨迹相交于A、B两点，请问（为圆的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.参考答案：（I）设动圆圆心为，半径为．由题意，得，，．………………3分由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上，且，．动圆圆心M的轨迹的方程为．

…………5分（Ⅱ）如图，设内切圆N的半径为，与直线的切点为C，则三角形的面积当最大时，也最大，内切圆的面积也最大

………………7分设、(),则

………………8分由，得，

解得，

………10分∴，令，则，且，有，令，则当时，，在上单调递增，有，，即当，时，有最大值，得，这时所求内切圆的面积为，∴存在直线，的内切圆M的面积最大值为.

………14分20.已知抛物线的方程为C：x2=4y，过点Q（0，2）的一条直线与抛物线C交于A，B两点，若抛物线在A，B两点的切线交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）设直线PQ与直线AB的夹角为α，求α的取值范围．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及导数的几何意义，分别求得切线方程，联立即可求得点P的轨迹方程；（2）分类讨论，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得tanα取值范围，即可求得α的取值范围．【解答】解：（1）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设lAB：y=kx+2，则，整理得：x2﹣4ky﹣8=0…①，△=16k2+32＞0，故k∈R时均满足题目要求．设交点坐标为，则x1，x2为方程①的两根，故由韦达定理可知，x1+x2=4k，x1x2=﹣8．将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，整理得，同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点P（xp，yp），联立两条切线的方程，解得点P坐标为，故点P的轨迹方程为y=﹣2，x∈R（2）当k=0时，xP=0，yP=﹣2，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．当k≠0时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为k，且已知直线AB与直线PQ所夹角α∈[0，]，tanα=丨丨=丨丨=+丨k丨≥2，则a∈[arctan2，）综上所述，α的取值范围是∈[arctan2，]．21.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望.参考答案：解：（Ⅰ）设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图，则有（0.01＋0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.（Ⅱ）平均分为：（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2.所以X的分布列为略22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，P为椭圆C上的动点．（1）求椭圆的方程；（2）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ（≤λ＜1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么函数．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）圆的方程为：x2+y2=b2，圆心到直线x﹣y+2=0的距离d===b，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈，由=λ（≤λ＜1），可得，而，代入化简整理可得：（3λ2﹣1）x2+3λ2y2=6，，对λ分类讨论即可得出．解答： 解：（1）圆的方程为：x2+y2=b2，圆心到直线x﹣y+2=0的距离d===b，又，a2=b2+c2，解得，c=1．∴椭圆的方程为．（