第二章四边形2 5矩形性质和判定_第1页
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文档简介

本节内容2.5——2.5.1

矩形的性质观察在小学,我们初步认识了长方形,观察图2-41中的长方形,它是什么平行四边形吗?它有什么特点呢?图2-41这些四边形的四个角都是直角.在一个平行四边形中,只要有一个角是直角,那

么其他三个角都是直角.我发现这些长方形的对边平行且相等,因此,它们是平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也称为长方形.平行四边形矩形有一个角是直角结论矩形的四个角都是直角,对边相等,对角线互相平分.可以知道:结论矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形,因此如图2-42,四边形ABCD为矩形,那么对角线AC与DB相等吗?动脑筋图2-42如图,四边形ABCD是矩形,于是有AB=DC,∠CBA=∠BCD=90°

,BC=CB.因此

△CBA≌△BCD.

(SAS)从而

AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42结论矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质:例1

如图2-43,矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,AC

=

4

cm,

∠AOB

=

60°.求BC的长.图2-43从而OOAA==OOBB

==1122

AACC

==22ccmm..又∠AOB=60°,∴

△AOB是等边三角形.∴

AB=OA=2cm.∵

∠ABC

=

90°,∴在Rt△ABC中,BC

=

AC

2

-

AB2

==

2

3(cm).42

-

22图2-43解∵

□ABCD是矩形,在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44),把它剪下来,怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合?满足这个要求的折叠方法有几种?由此猜测:矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?你的猜测正确吗?图2-44做一做如图,矩形ABCD的对角线相交于点O.BCDAOFE过点O作直线EF⊥BC,且分别与边BC

,AD相交于点E,F.形,从而直线EF是线段BC的垂直平分线.2

2由于

OB

=

1

BD

=

1

AC

=

OC

,因此△OBC是等腰三角由于AD∥BC,因此EF⊥AD.同理,直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称,点A和点D关于直线EF对称,从而在关于直线EF的轴反射下,矩形

ABCD的像与它自身重合,因此矩形ABCD是轴对称图形,直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFE类似地,过点O作直线MN⊥AB,且分别与边

AB,DC相交于点M,N,则点M,N分别是边AB,DC的中点,直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.DAOFEMBNC结论矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到:练习1.已知矩形的一条对角线的长度为2cm,两条对角线的一个夹角为60°,求矩形的各边长.答:矩形的各边长分别为1cm和3cm.2.如图,四边形ABCD为矩形,试利用矩形的性质说明:直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.证明

四边形ABCD是矩形,从而OA=OC

=1

AC

,2OB=OD

=

1

BD

.2(矩形的对角线互相平分.)又AC=BD,(矩形的对角线相等.)∴

OB=OA=OC

=

1

AC.2中考试题例如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AB=4cm,则AC的长为

8

cm.解析

由矩形性质及∠AOB=60°,可得∠

ACB=30°.在Rt△ABC中,∵AB=4,∴AC=2AB=8cm.本节内容2.5——2.5.2

矩形的判定动脑筋矩形的四个角是直角,那么,四个角是直角的四边形是矩形吗?三个角是直角呢?两个角是直角呢?如图2-46,四边形ABCD

的四个角都是直角.由于“同旁内角互补,两直线平行”,因此AB∥DC,AD∥BC,从而四边形ABCD是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46结论三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形,容易知道另一个角也是直角,由此得到:四边形中只有两个角是直角,我想到了下边的图形:动脑筋从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发,你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗?这样的矩形有多少个?过点O

画两条线段AC,BD,使得

OA=OC=2cm,OB

=OD=2cm.

连接AB,BC,CD,DA.则四边形ABCD是矩形,且它的对角线长度为4cm,如图2-47.这样的矩形有无穷多个.2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗?如图2-47,由画法可知,四边形ABCD的两条对角线互相平分,因此它是平行四边形,又已知其对角线相等,上述问题抽象出来就是:对角线相等的平行四边形是矩形吗?我们来进行证明.在□ABCD中,由于AB=DC,AC=DB,BC=CB,因此 △ABC≌△DCB.

(SSS)从而

∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB

=180°,于是

∠ABC=90°.所以□ABCD是矩形.图2-47结论对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理:对角线相等的四边形是矩形吗?议议议议一议例2

如图2-48,在□ABCD中,它的两条对角线相交于点O.如果□ABCD是矩形,试问:△OBC是什么样的三角形?如果△OBC是等腰三角形,其中OB=OC,那么□ABCD是矩形吗?图2-48解(1)

∵□ABCD是矩形,∴AC与DB相等且互相平分.∴

OB

=

1

DB

=

1

AC

=

OC

.2

2∴△OBC是等腰三角形.(2)

∵△OBC是等腰三角形,其中OB=OC,∴

AC

=2OC

=

2OB

=

BD.∴□ABCD是矩形.图2-48练习1.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,求证:四边形ABCD是矩形.证明:因为四边形中,∠A=∠B=∠C=∠D

,四边形的内角和为360°,所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°,所以四边形ABCD是矩形.

(三个角是直角的四边形是矩形.)2.

如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB

=60°,AB=2,AC=4,求□ABCD的面积.解:

OA=

1

AC=2,AB=

2,2∴△OAB是等腰三角形.又∠AOB

=60°,∴△OAB是等边三角形.∴

OA=OB=2,∴

AC=BD=4.∴□ABCD是矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形.)作OE⊥AD于点E.∴

AE

=

3,∴

AD

=

2 3

.∴

S矩形

ABCD

=AD

AB=

2 3

·

2

=

4 3

.E在Rt

△OAE中,AO=2,OE=1

AB=1,2

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