上海工程技术大学-概率论作业答案

PAGEPAGE4习题一1．设是三个事件，且，，，求中至少有一个发生的概率．解：2．设事件及的概率分别为及，求：，，及．解：3．设，，试分别在下列三种情况下求)的值：(1)互不相容；(2)；(3)．解：（１）（２）（３）4．盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品．从盒子中任取4个，求：(1)4个全是正品的概率；(2)恰有一个是次品的概率；(3)至少有两个是次品的概率．解：或5．从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率．解：6．从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率．解：7．某城市的电话号码由８个数字组成，第一位为5或6．求(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率；(2)随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率．解：8．房间里有4人，求：(1)这4人的生日不在同一个月的概率；(2)至少有2人的生日在同一个月的概率．解：9．已知，，，求．解：10．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率．解：设Ａ：其中一颗为１点，Ｂ：点数之和为７，则或，则20．甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8．甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率．解：设事件：甲击中目标，事件：乙击中目标则所求概率为：21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一发），若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮?解：事件：第门炮击中飞机，，则所以至少配备6门高射炮。22．如图，三个元件分别记作，且三个元件能否正常工作是相互独立的．设三个元件正常工作的概率分别为0.7，0.8和0.8，求该电路发生故障的概率．解：设事件分别表示元件正常工作则所求概率为：或23．一大楼有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率；(2)至少有3个设备被使用的概率．解：（1）（2）24．某人独立射击10次，每次射击的命中率均为0.6，求：(1)击中三次的概率；(2)至少有一次未击中的概率．解：（1）（2）习题二1.设随机变量的分布律为，，(1)确定常数；(2)求．解：（1）由规范性：得：（2）2．设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样．以表示取出次品的只数，求的分布律．解：的分布律为：0123．一射手每次射击的命中率为0.2，试问必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设表示次射击中击中的次数，则必须进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.4．一批产品中有20％的次品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，计算这5件样品中恰好有3件次品、至多有3件次品的概率．解：设表示5件样品中次品的件数，则则恰好有3件次品的概率为：至多有3件次品的概率为：5．某高速公路每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：6．某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数超过10次的概率．解：7．设随机变量的分布律为．求的分布函数．解：8．一口袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．从袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最大号码，求随机变量的分布律和分布函数，解：X的可能取值为3，4，5，，X的分布律为：X的分布函数为：9．设随机变量的概率密度为求：(1)系数；(2)的分布函数；(3)；解：（2）当时，X的分布函数为：10．设连续型随机变量的分布函数为求：(1)系数；(2)；(3)概率密度．解：11．设在上服从均匀分布，求方程有实根的概率．解：方程有实根，即所求的概率为：12．设某种电子元件的使用寿命（以小时计）的概率密度为某仪器内装有3个这样的电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），试求：(1)使用的最初150小时内没有一个电子元件损坏的概率；(2)这段时间内只有一个电子元件损坏的概率．解：最初150小时内一个电子元件损坏的概率为：设Y：最初150小时内电子元件损坏的个数，则故13．设随机变量在上服从均匀分布．现对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：设Y：三次观测中观测值大于3的次数，则故所求概率为：14．设，试求：(1)；(2)；(3)．解：15．某产品的质量指标，若要求，允许最大为多少？解：16．测量至某一目标的距离时发生的随机误差（米）的概率密度为，求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米解：一次测量误差的绝对值不超过30米设Y：在三次测量中误差的绝对值不超过30米的次数，则所求概率为：17．设随机变量的分布律为-2-1013试求：(1)；(2)的分布律．解：（1）-6-2024（2）014918．设随机变量，求：(1)的概率密度；(2)的概率密度．解：Ｘ的概率密度为：（１）且故由定理可得，的概率密度为：（２）Ｙ的分布函数为：Ｙ的概率密度为：19．设随机变量在上服从均匀分布，求：(1)的概率密度；(2)的概率密度．解：Ｘ的概率密度为：(1)且故由定理可得，的概率密度为：(2)且故由定理可得，的概率密度为：习题三一口袋中装有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3．从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时袋中每个球被取到的可能性相同．以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，试写出随机变量和的联合分布律．解：1231023０2．设随机变量的概率密度为(1)确定常数；(2)求；(3)求；(4)求．解：(1)(2)(3)(4)3．设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数；(2)求概率．解：(1)当时，当取其他值时，(2)4．求第1题中随机变量的边缘分布律．解：1231235.设随机变量的概率密度为，求关于和关于的边缘概率密度。解：6．设随机变量具有概率密度求边缘概率密度．解：7．设随机变量和的联合分布律为12123试问：当取何值时，与相互独立？解：Ｘ与Ｙ相互独立，则有即即8．设随机变量在区域上服从均匀分布，其中由直线所围成．(1)求与的联合概率密度；(2)求的边缘概率密度；(3)问与相互独立吗？为什么？解：(1)Ｇ的面积与的联合概率密度为：(2)(3)不是相互独立的。因为不恒成立9．设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为(1)求的概率密度；(2)设含有的二次方程为，求有实根的概率．解：(1)X与Ｙ相互独立，(2)方程有实根，即所求概率为：10．设和是两个相互独立的随机变量，其分布律分别为01-1010.60.40.20.30.5试分别求和的分布律．解：0.120.180.30.080.120.2(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)-101012001111的分布律为：的分布律为-1012010.120.180.420.20.30.711．设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度是试求的概率密度．解：12．设随机变量和相互独立，在上服从均匀分布，在上服从均匀分布，求和的概率密度．解：习题四1．设随机变量的分布律为，求．解：2．一口袋中共有只球，其中只白球，只红球和只黑球．从中随机地取出只球，以表示这三只球中所含红球数，试求．解：Ｘ的分布律为:X0123．设随机变量的概率密度为求．解：4．某车间生产的圆盘其直径在区间内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．解：圆盘直径的概率密度为：圆盘面积的数学期望为：5．设随机变量的概率密度为求（1），（2）的数学期望．解：6．设二维随机变量的概率密度为求．解：7．设随机变量相互独立，它们的概率密度分别为求．解：8．计算第1题，第3题中随机变量的方差及标准差．解：第１题方差：标准差：第３题方差：标准差：9．设随机变量服从参数为2的泊松分布，，求．解：10．设随机变量与相互独立，且，求．解：11．设随机变量与相互独立，且，．设，求的概率分布，并求概率．解：12．试证明：如果与相互独立，则有．解：等式右边＝等式左边13．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率．解：设Ｘ：每毫升血液中含白细胞数所求概率14．设随机变量的分布律为：且设，试验证和是不相关的，但和不是相互独立的．解：的分布律为：的分布律为：-101010.30.40.30.60.4，的分布律为：1和不相关另一方面：和的联合概率密度为：01-10.30000.410.30显然和不相互独立15．设，试求以及．解：16．设二维随机变量在上服从均匀分布，其中，试求相关系数．解：17．试证：．证：习题五1．根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．解：（1）设第i个元件的寿命为，则由中心极限定理得：2．某银行的统计资料表明，每个定期存款储户的存款的平均数为元，均方差为元，(1)任意抽取个储户，问每户平均存款超过元的概率为多少？(2)至少要抽取多少储户，才能以以上的概率保证，使每户平均存款数超过元．解：（1）设第户储户的存款为，则由中心极限定理得：（2）查表得：至少要抽取165户储户，才能以以上的概率保证，使每户平均存款数超过元．3．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米．现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3解：设短于3米的根数为，则，则由中心极限定理得：4．设某电视台某项电视节目的收视率为